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Einheitengruppe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Einheit, Einheitengruppe, Ganze Zahlen, Komplexe Zahlen, Ring

RandomDude aktiv_icon

10:48 Uhr, 16.10.2020

Hallo,

ich beschäftige mich zurzeit mit dieser Aufgabe:

Wir betrachten den Ring

ℤ [w] =

{

a+bw|

a, b \in ℤ},

wobei

w = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = e^{\frac{2 π i}{3}} \in ℂ

Bestimmen Sie die Einheitengruppe

ℤ {[w]}^{x}

Ansatz:

Einen richtigen Ansatz habe ich leider noch nicht richtig.
Ich weiß zwar was eine Einheit ist und dass die EInheitengruppe von

ℤ

aus 1 und

- 1

besteht. Weiß jedoch nicht wie ich das miteinbinde.

Ich würde nun gerne wissen wllen, wie man den genau so eine Einheitengruppe bestimmt.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren

ermanus aktiv_icon

11:04 Uhr, 16.10.2020

Hallo,
ist dir der Begriff der Norm

N

bekannt ?

N (a + b w) = a^{2} - a b + b^{2}

Gruß ermanus

RandomDude aktiv_icon

11:43 Uhr, 16.10.2020

Hallo,

mir ist zwar der Begriff der Norm bekannt, jedoch nicht diejenige die du aufgeschrieben hattest.
Ich habe in meinem Skript auch nichts diesbezüglich gefunden.
Ist diese Norm essenziell für die Lösung?

MfG

ermanus aktiv_icon

12:12 Uhr, 16.10.2020

Es geht sicher auch ohne, ist aber mit Norm wohl einfacher.
Also hier mal direkt:
Ist

a + b w (a, b \in ℤ)

eine Einheit, so gibt es

c, d \in ℤ

mit

(a + b w) (c + d w) = 1 (1)

.

Das gilt dann auch nach Komplexkonjugation:

\overline{(a + b w)} \overline{(c + d w)} = 1

, also

(a + b \overline{w}) (c + d \overline{w}) = 1 (2)

.

Multiplikation der Gleichungen (1) und (2) liefert:

(a + b w) (a + b \overline{w}) (c + d w) (c + d \overline{w}) = 1 (3) .

Nun gilt

w + \overline{w} = - 1

und

w \overline{w} = 1

,
daher liefert (3) die Gleichung

(a^{2} - a b + b^{2}) (c^{2} - c d + d^{2}) = 1

.
Das ist eine Gleichung in ganzen Zahlen,

a^{2} - a b + b^{2}

muss also eine Einheit in den ganzen Zahlen sein, d.h.

a^{2} - a b + b^{2} = \pm 1

.

Damit solltest du weiter kommen.

Gruß ermanus

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