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Einheitskreis abgebildet auf Einheitskreis ohne 0

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Schurli aktiv_icon

20:55 Uhr, 18.05.2016

Man betrachte die beiden Teilmengen

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

und

C = D \ {(0, 0)}

jeweils mit der Spurtopologie des euklidischen Raumes

ℝ^{2} .

Sind diese als topologische Räume homöomorph? (Begründung)

Ich habe so etwas noch nie gemacht/gesehen und bitte um einen Hinweis. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich es schaffe von den Elementen auf den Einheitskreis abzubilden. Wie soll das gehen? Soll ich die Funktion

e^{i t}

in meinen Homeomorphismus hineinwerfen?

Wäre für Hinweise sehr dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

21:39 Uhr, 18.05.2016

"Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich es schaffe von den Elementen auf den Einheitskreis abzubilden."

Das musst Du auch nicht wissen.
Sie sind nicht homöomorph, weil eine kontrahierbar und andere nicht.
Lese z.B. hier darüber:
http://www.schlurcher.de/PDF/Topologie.pdf (Kapitel 8)

mihisu aktiv_icon

21:41 Uhr, 18.05.2016

Du brauchst keinen Homöomorphismus zu finden, da die Räume nicht homöomorph sind.

\\Vergiss das folgende:\\

Wenn

C

und

D

homöomorph wären müsste es eine stetige bijektive Abbildung

f : C \to D

geben, so dass

f^{- 1}

auch stetig ist.

Nun kann man einen Widerspruch folgern. Dazu die Hinweise:
- Wenn

f

bijektiv ist, dann ist

f

surjektiv. Was ist dann

f^{- 1} (D)

?
- Wenn

f

stetig ist, sind Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen.

\\Vergiss das vorige.\\

Sorry, ich habe leider nicht ganz zu Ende gedacht. Der Widerspruch, den ich folgern wollte, ist kein Widerspruch.

Evtl. ist es einfacher mit der Klassifikation zu arbeiten, dass der eine Raum kontrahierbar ist und der andere nicht, wie DrBoogie vorgeschlagen hat.
Genau das habe ich übrigens auch benutzt, um überhaupt meine Vermutung zu erhalten, das

C

und

D

nicht homöomorph sind.

(^_^)

Schurli aktiv_icon

22:28 Uhr, 18.05.2016

Aufgrund der Surjektivität ist Zielbereich=Bildbereich, also

f^{- 1} (D) = D .

Widerspruch dazu, dass der Nullpunkt entfernt wurde. Außerdem wäre

C

nun halboffen, was auch ein Widerspruch ist zu dem Fakt, dass D abgeschlossen ist. Ist das echt so einfach?? :O

Schurli aktiv_icon

23:23 Uhr, 18.05.2016

"Evtl. ist es einfacher mit der Klassifikation zu arbeiten"

Kannst du mir da einen Ansatz aufschreiben? :-) Das klingt nämlich reichlich kompliziert, denn ich bereite mich hier für eine Prüfung vor wo so ähnliche Aufgaben wie die hier u.a. kommen. Ich glaube nicht, dass man da mehrere Zeilen braucht. Was sagst du ?:-)

mihisu aktiv_icon

23:52 Uhr, 18.05.2016

"""
Aufgrund der Surjektivität ist Zielbereich=Bildbereich, also

f^{- 1} (D) = D

. Widerspruch dazu, dass der Nullpunkt entfernt wurde. Außerdem wäre

C

nun halboffen, was auch ein Widerspruch ist zu dem Fakt, dass

D

abgeschlossen ist. Ist das echt so einfach??

: O

"""

Nicht ganz. Es ist NICHT Zielbereich = Bildbereich. Keine Ahnung, wie du darauf gekommen bist.

Allerdings folgt wegen der Surjektivität von

f,

dass

f^{- 1} (D) = C

ist.

\\\\

Das was du danach geschrieben hast stimmt dann aber:

Angenommen es gäbe also einen Homöomorphismus

f : C \to D

D \subseteq ℝ^{2}

ist abgeschlossen. Da

f

stetig sein soll, müsste demnach auch

C = f^{- 1} (D)

als Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen sein. Allerdings ist

C \subseteq ℝ^{2}

nicht abgeschlossen. (Denn um den Punkt

(0, 0) \in ℝ^{2} \ C

findet man offensichtlich keine offene Menge, die Teilmenge von

ℝ^{2} \ C

liegt.)

Damit erhält man einen Widerspruch. Die Annahme es gäbe einen entsprechenden Homöomorphismus muss also falsch gewesen sein.

\\\\

Das ist auch den Widerspruch von dem ich in meinem vorigen Beitrag geschrieben habe. (Der passt auch. Ich hatte irgendwie kurz gedacht, dass

C

doch abgeschlossen ist, weshalb ich meinen vorigen Beitrag entsprechend geändert habe. Keine Ahnung, warum ich das zwischendurch gedacht hatte.

C \subseteq ℝ^{2}

ist nicht abgeschlossen.)

\\Edit:\\

Jetzt weiß ich, wieder, warum der Beweis nicht wirklich überzeugend/richtig ist.

Man betrachtet ja nicht

C

bzw.

D

direkt in der Standardtopologie

τ

von

ℝ^{2},

sondern bezüglich der jeweiligen Teilraumtopologie/Spurtopologie

τ_{C}

bzw.

τ_{D}

. Und zwar ist

C

bezüglich

τ

nicht abgeschlossen, aber bezüglich

τ_{C}

ist

C

abgeschlossen.

Für die Idee, dass der eine Raum kontrahierbar ist und der andere nicht, habe ich leider gerade keinen Beweis.

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