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Einheitsmatrizen und zyklische Prozesse

Schüler

Tags: Einheitsmatrix, Matrix, zusammenhang zwischen, zyklische prozesse

gmz123 aktiv_icon

16:42 Uhr, 23.12.2013

Ich habe eine folgende Frage:

Welche Rolle spielen Einheitsmatrizen bei der Beschreibung von zyklischen Prozessen?

Ich weiß ganz genau was Einheitsmatrizen und zyklische Prozesse sind, jedoch kann ich keinen Zusammenhang zwischen den beiden finden.

Die Frage soll ich anhand eines Beipsiels beantworten.

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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17:14 Uhr, 23.12.2013

"Ich weiß ganz genau was Einheitsmatrizen und zyklische Prozesse sind"

Dann lass uns doch bitte an Deinem Wissen teilhaben!
Vermutlich wird dann alles schon viel klarer...

gmz123 aktiv_icon

17:31 Uhr, 23.12.2013

Eine Einheitsmatrix (En)

: -

ist eine quadratische Matrix, deren Diagonale nur aus Einsen besteht
- und alle anderen Elemente sind null

Der Index

n

gibt die Größe der Einheitsmatrix an.

zyklische Prozesse : Manche Entwicklungsprozesse verlaufen so, dass nach einigen Übergangsstufen der ursprüngliche Anfangszustand wiederhergestellt ist.
Derartige Übergangsprozesse heißen zyklisch, weil die verschiedenen Zustände kreislaufartig durchlaufen werden. Wird der Anfangszustand erstmals nach

n

Übergängen wieder erreicht, so spricht man von einem zyklischen Prozess der Länge

n

.

Bei meiner Aufgabe erreicht die Population der Schmetterlinge nach 3 Monaten wieder den Anfangszustand.

Es gilt, wenn

a \cdot b \cdot c < 1

ist, stirbt die Population aus.

a \cdot b \cdot c = 1

ist, entwickelt sich die Population zyklisch.

a \cdot b \cdot c > 1

ist, nimmt die Population zu.

Bei mir ist

a = 0,25

b = 0,5

c = 8

Also entwickelt sich die Population zyklisch.

Aber ich weiß immer noch nicht was das jetzt mit einer Einheitsmatrix zu tun hat.

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17:42 Uhr, 23.12.2013

Na, das ist doch schon super!

Zur Einheitsmatrix

E :

Was ergibt sich, wenn man diese Einheitsmatrix mit einem (beliebigen, aber "passenden") Vektor

\vec{x}

multipliziert?

E \cdot \vec{x} =

?

Zum zyklischen Prozess:
Sei

P

die Übergangsmatrix für einen zyklischen Prozess der Länge

n

(also

P

als Matrix, die den Übergang von einem Zustand zum nächsten beschreibt).
Wie kann man mit Hilfe dieser Matrix

P

die zyklische Eigenschaft beschreiben?

gmz123 aktiv_icon

18:42 Uhr, 23.12.2013

Einheitsmatrix: Es ergibt sich der selbe Vektor welcher mit der Einheitsmatrix multipliziert wurde.

zyklische Prozesse: In dem man die Übergangsmatrix mit einer Einheitsmatrix multipliziert?

Matlog aktiv_icon

18:49 Uhr, 23.12.2013

Also

E \cdot \vec{x} = \vec{x}

. Das reicht hier.

Zum zyklischen Prozess:
Wir haben die Übergangsmatrix

P

und einen Startzustand

\vec{x_{0}}

.
Beschreibe damit jetzt die zyklische Eigenschaft unseres Prozesses (so, wie Du es oben in Worten gemacht hast)!

gmz123 aktiv_icon

19:10 Uhr, 23.12.2013

Der ursprüngliche Anfangszustand wird nach

n (=

in meinem Fall nach drei) Übergängen wieder erreicht.
Und wir wissen, dass

n

die größe der Einheitsmatrix angibt.

Also wissen wir durch die größe der Einheitsmatrix, nach wie vielen Übergängen wieder der Anfangszustand erreicht wird.
So richtig?

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19:20 Uhr, 23.12.2013

Ja, richtig. Aber das muss jetzt mal in eine Formel.

Mal unabhängig vom zyklischen Prozess (also für beliebige Übergangsmatrix

P) :

Startzustand

\vec{x_{0}}

Der Zustand eine Zeitperiode später

\vec{x_{1}}

errechnet sich mit

P \cdot \vec{x_{0}} = \vec{x_{1}}

.
Das dürfte sicher bekannt sein, oder?
Wie berechnet sich dann

\vec{x_{2}}

?
Weißt Du auch, wie man

\vec{x_{2}}

direkt aus

\vec{x_{0}}

berechnen kann?

gmz123 aktiv_icon

19:31 Uhr, 23.12.2013

P \cdot x 1 = x 2

?

Wie man direkt aus

x 0, x 2

berechnet weiß ich nicht.
Vielleicht in dem man

P \cdot P

rechnet?

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19:36 Uhr, 23.12.2013

Ganz genau!

P \cdot \vec{x_{0}} = \vec{x_{1}}

P \cdot \vec{x_{1}} = \vec{x_{2}}

Also

P \cdot (P \cdot \vec{x_{0}}) = \vec{x_{2}}

oder

P^{2} \cdot \vec{x_{0}} = \vec{x_{2}},

allgemein

P^{n} \cdot \vec{x_{0}} = \vec{x_{n}}

Und wie sieht die letzte Gleichung bei einem zyklischen Prozess der Länge

n

aus?

gmz123 aktiv_icon

19:48 Uhr, 23.12.2013

In meinem Fall:

P^{3} \cdot x 0 = P

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19:51 Uhr, 23.12.2013

Nein, da muss doch ein Zustand (also ein Vektor), aber keine Matrix rauskommen!

gmz123 aktiv_icon

20:02 Uhr, 23.12.2013

Oh sorry, ja da kommt der Startzustand als Ergebnis raus.

Matlog aktiv_icon

20:08 Uhr, 23.12.2013

Hm...

"Wird der Anfangszustand erstmals nach

n

Übergängen wieder erreicht, so spricht man von einem zyklischen Prozess der Länge

n

."

Also

P^{n} \cdot \vec{x_{0}} = \vec{x_{n}} = \vec{x_{0}}

Somit gilt für jeden beliebigen Startvektor

P^{n} \cdot \vec{x} = \vec{x}

Oben haben wir gesehen, dass (nur) die Einheitsmatrix

E

diese Eigenschaft hat.

Und somit ergibt sich der gesuchte Zusammenhang:

P^{n} = E

gmz123 aktiv_icon

20:17 Uhr, 23.12.2013

Vielen Dank! :-)

heapspark aktiv_icon

16:26 Uhr, 27.03.2018

Der vorletzte Beitrag ist nicht ganz richtig: Aus

P^{n} \cdot \vec{x} = \vec{x}

folgt *nicht*

P^{n} = E

.

Dazu ein Gegenbeispiel:

P = (\begin{array}{rcl} 0 & 2 & 0 \\ 0, 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0, 7 & 0 \end{array})

beschreibt einen zyklischen Prozess der Länge 2.

P^{2}

ist jedoch nicht die Einheitsmatrix.

Das richtige Kriterium für einen zyklischen Prozess der Länge

n

lautet

P^{n + 1} = P

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