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Einheitsvektoren senkrecht auf a und 30 grad auf b

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

CoreyT aktiv_icon

16:45 Uhr, 14.12.2009

Hallo,

mein thema sagt es eigentlich schon, hab ein problem mit folgender aufgabe:

gegeben sind die vektoren a=3e1-e2+e3 / b=e1+e2-e3.

Man ermittle Einheitsvektoren, die senkrecht auf a stehen und mit b einen Winkel von 30 Grad einschleißen.

So, mein ansatz war gleichungssystem Betrag Vektor x,y,z Gleichung 1 und zweite und dritte gleichung jeweils winkel 90 und 30 grad gleich skalar a * gesuchter vektor bzw. b * gesuchter vektor geteilt durch betrag a * gesuchter vektor bzw. b * gesuchter vektor.

naja haut auf jeden fall nich hin, zumindest für mich, was mach ich falsch ??

wäre super, wenn mir jemand behilflich sein könnte

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

arrow30

09:13 Uhr, 17.12.2009

ich gehe davon aus ,dass

e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

e_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

dann ist

a = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

sei der gesuchte Vektor

\vec{c} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

nun da

\vec{c}

senkrecht auf

\vec{a}

steht folgt

\vec{a} \cdot \vec{c} = 0

(skalarprodukt = Null)

⋆ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0

wie du gesagt hast

\vec{c}

soll ein Einheitsvektor sein

\Rightarrow

⋆ ⋆ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1

und gegeben

\vec{c}

bildet einen Winkel von

30

° mit

\vec{b} \Rightarrow

\vec{c} \cdot \vec{b} = | \vec{c} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos 30

(wobei

| \vec{c} | = 1)

⋆ ⋆ ⋆ x_{1} + x_{2} - x_{3} = \sqrt{1 + 1 + 1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}

aus

⋆

und

⋆ ⋆

und

⋆ ⋆ ⋆

musste es jetzt möglich sein

\vec{c}

zu bestimmen

⋆ + ⋆ ⋆ ⋆

ergibt

4 x_{1} = \frac{3}{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{3}{8}

⋆

einsetzen

\Rightarrow \frac{9}{8} + x_{3} = x_{2} \in ⋆ ⋆

einsetzen :

{(\frac{3}{8})}^{2} + {(\frac{9}{8} + x_{3})}^{2} + x_{3}^{2} = 1

von hier hast du

x_{3}

(pq Formel)

CoreyT aktiv_icon

13:15 Uhr, 17.12.2009

hab mein vektor, besten danke für die erneute hilfe !

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