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Einschachtelungslemma / Sandwichlemma für Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: einschachtelungssatz, Folgen, Quetschlemma, sandwichtheorem

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18:12 Uhr, 14.07.2014

Hallo, ich soll explizit mit dem Sandwichlemma diese Folge untersuchen:

\sqrt[n]{n + \sqrt{n}}

Nun Frage ich mich allerdings, wie kommt man auf die beiden begrenzenden Folgen? (Und könnte ich nicht einfach umformen und Grenzwertsätze anwenden?)

Meine Idee:

\forall n \in N : \sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n + \sqrt{n}} \leq \sqrt[n]{n} + \sqrt{n}

demnach divergiert die Folge..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

18:33 Uhr, 14.07.2014

"demnach divergiert die Folge.."

Wie kommst du darauf, die Abschätzung

\sqrt[n]{n}

nach unten konvergiert doch für

n \to \infty

gegen 1.

(Und die obere Abschätzung konvergiert gegen

\infty .)

Daraus könnte man höchstens folgern, dass die Werte von

\sqrt[n]{n + \sqrt{n}}

für

n \to \infty

sich irgendwo in

[1, \infty)

befinden werden, jedoch nicht, dass

\sqrt[n]{n + \sqrt{n}}

divergiert, was nämlich auch nicht der Fall ist.

Die Abschätzung nach oben ist zu grob. Verwende lieber

0 \leq \sqrt{n} \leq n

für

n \in ℕ,

so dass also:

\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n + \sqrt{n}} \leq \sqrt[n]{2 n}

"Nun Frage ich mich allerdings, wie kommt man auf die beiden begrenzenden Folgen?"

Herumprobieren! Mit ein wenig Erfahrung sieht man eher, was sinnvoll ist. Deshalb gibt es ja auch Übungsaufgaben, um Erfahrung zu sammeln.

"Und könnte ich nicht einfach umformen und Grenzwertsätze anwenden?"

Ich wüsste in diesem Fall nicht, wie. Ich denke nicht das dies möglich ist. (Natürlich könnte ich mich da irren, da ich mich selbst nicht mittels eines Beweises selbst davon überzeugt habe.)

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19:14 Uhr, 14.07.2014

ok, das ist natürlich eine schönere Idee für die obere Abschätzung :-)

also hätte man dann folgende obere "Grenze":

\sqrt[n]{2 n} = \sqrt[n]{2} * \sqrt[n]{n}

und demnach sind die Grenzwerte:

\sqrt[n]{2} - > 1

\sqrt[n]{n} - > 1

womit die Folge gegen 1 konvergiert.

=========================================================================

Ich würde gleich mal meine anderen Ansätze hier einstellen, da ich so eine Art kleine Sammlung zum Sandwichlemma nicht wirklich fand..

x_{n} = \frac{2 n + 1}{{(n - 1)}^{2}} \sin (\frac{n}{2}), n > 1

Ansatz:

- (\frac{2 n + 1}{{(n - 1)}^{2}}) \leq \frac{2 n + 1}{{(n - 1)}^{2}} \sin (\frac{n}{2}) \leq \frac{2 n + 1}{{(n - 1)}^{2}}

-------------------------------------------------------------------------

x_{n} = \frac{\sqrt[n]{2}}{n^{2}} (2 - \cos (n)), n > 0

Ansatz:

\frac{\sqrt[n]{2}}{n^{2}} \leq \frac{\sqrt[n]{2}}{n^{2}} (2 - \cos (n)) \leq 3 * \frac{\sqrt[n]{2}}{n^{2}}

-------------------------------------------------------------------------

x_{n} = \sqrt[n]{6 + n^{- 1}}, n > 0

Ansatz:

\sqrt[n]{6} \leq \sqrt[n]{6 + n^{- 1}} \leq \sqrt[n]{6 n}

anonymous

19:24 Uhr, 14.07.2014

Ja, das sieht alles sehr gut aus.

Beim letzten hätte ich nach oben mit

\sqrt[n]{7}

abgeschätzt. Aber

\sqrt[n]{6 n}

funktioniert genauso, allerdings noch nicht für

n = 1,

sondern erst für

n \geq 2,

wes jedoch beim Grenwert dann nicht mehr wichtig ist.

bntspcht aktiv_icon

19:32 Uhr, 14.07.2014

Vielen Dank! Ich denke ich hab's nun ausreichend verstanden^^

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