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Einschränkung linearer Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

Schnoesel90 aktiv_icon

05:06 Uhr, 31.12.2015

Hallo,

würde mich über Korrektur und Hilfe bei der folgenden Aufgabe sehr freuen, bin da leider ein wenig unsicher. Das größere Problem habe ich wohl bei Aufgabenteil

b

Aufgabe)
Wir betrachten die lineare Abbildung gegeben durch

f : K^{3} \to K^{3}, \leq f t (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \to (x_{3}, x_{1}, x_{2})

sowie den Untervektorraum

U = {x \in K^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

a)

Zeigen Sie, dass

f (u) \in U

für alle

u \in U

gilt. Die Einschränkung von

f

auf

U,

gegeben durch

f |_{U} : U \to U, u \to f (u)

ist also eine wohldefinierte Abbildung. Zeigen Sie, dass diese K-linear ist

b)

Finden sie eine Basis

B

von

U

und berechnen sie

M_{B}^{B} (f |_{U})

a)

für den ersten Schritt habe ich einen allgemeinen Vektor

u = {(u_{1}, u_{2}, u_{3})}^{T} \in U

genommen, sein Bild

f (u) = {(u_{3}, u_{1}, u_{2})}^{T}

angegeben und dann die Bedingung

u_{3} + u_{1} + u_{2} = 0

wegen Assoziativität nach

u_{1} + u_{2} + u_{3} = 0

umgestellt, so dass

f (u) \in U

gilt. Reicht das?

Im zweiten Schritt zum Nachweis der Linearität habe ich die beiden Eigenschaften geprüft:

u, v \in U

f {|_U ((\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})) = f |}_{U} (\begin{matrix} u_{1} + v_{1} \\ u_{2} + v_{2} \\ u_{3} + v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} u_{3} + v_{3} \\ u_{1} + v_{1} \\ u_{2} + v_{2} \end{matrix}) =

(\begin{matrix} u_{3} \\ u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{3} \\ v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = f {|_U (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) + f |}_{U} (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

II)

f {|_U (λ (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})) = f |}_{U} (\begin{matrix} λ u_{1} \\ λ u_{2} \\ λ u_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ u_{3} \\ λ u_{1} \\ λ u_{2} \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} u_{3} \\ u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) = λ f |_{U} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})

und mit den beiden Eigenschaften ist sie

K

-linear. Ist das soweit in Ordnung?

zu

b)

Mir war zunächst klar, dass die Standardinterpretation

A_{f =} (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

ist. Um eine Basis

B

von

U

zu finden, habe ich die Gleichung aus

U

genommen und die Matrix

B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

aufgestellt. Dann transponiert man die Spalten und findet über Zeilenumformungen den Basisvektor

b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. Um nun

M_{B}^{B} (f |_{U})

angeben zu können, bräuchte ich die Koordinaten der Basis

B

bezüglich

B,

aber ich habe ja nur einen Vektor. Darf ich also nun

B

einfach um zwei lin. unabhängige Vektoren ergänzen,etwa

e_{2}

und

e_{3},

so dass ich die kanonische Basis habe und

M_{B}^{B} (f |_{U})

am Ende der Standardinterpretation von

f

entspricht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:43 Uhr, 31.12.2015

a) ist richtig

b)

U

ist zweidimensional, also bestehen alle seine Basen aus zwei Elementen. Um eine Basis zu finden, muss man im Prinzip das System

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

lösen. Aber in diesem Fall kann man eine Basis auch sofort sehen:

(1, - 1, 0)

(1, 0, - 1)

(das ist nur eine Basis, die man sofort sieht, es gibt auch andere).

Schnoesel90 aktiv_icon

19:54 Uhr, 01.01.2016

Vielen Dank für deine Antwort, das leuchtet sofort ein.
Ich weiß nicht recht wie oder warum ich auf die Idee mit der Matrix kam.

Aber wie muss ich nun die darstellende Matrix berechnen?
Nehme ich die beiden Basisvektoren, wende die Abbildung darauf an und gebe danach wieder die Koordinaten der Bilder bezüglich der Basisvektoren an?
Ist die darstellende Matrix dann

\in K^{2 x 2}

DrBoogie aktiv_icon

10:03 Uhr, 02.01.2016

"Nehme ich die beiden Basisvektoren, wende die Abbildung darauf an und gebe danach wieder die Koordinaten der Bilder bezüglich der Basisvektoren an?"

Ja.

"Ist die darstellende Matrix dann ∈K2x2?"

Ja.

Schnoesel90 aktiv_icon

05:22 Uhr, 03.01.2016

Vielen Dank, ich habe dann die darstellende Matrix

M_{B}^{B} (f |_{U}) = (\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

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