Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Einsetzungshomomorphismus

Einsetzungshomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Tags: Körper, Polynomring, Ring

Siffkroete aktiv_icon

12:20 Uhr, 11.02.2024

Diesen Text habe ich bei Albrecht Beutelspacher gelesen:
Was bedeutet

x

bei einem Polynom? Sei

K

ein kommutativer Körper. Die Menge

V_{\infty}

als unendliche Folge

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots)

mit Elementen aus

K

, die nur endlich viele Komponenten nicht gleich

0

haben. Die Menge

B = {e_{i} ∣ i \in ℕ}

, wobei

e_{i}

die Folge ist, die nur an der

i

-ten Stelle eine

1

hat und sonst aus Nullen besteht, ist eine Basis von

V_{\infty}

.
Wir führen jetzt zusätzlich eine Multiplikation auf

V_{\infty}

ein. Seien

f = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, 0, 0, 0, \dots)

und

g = (b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}, 0, 0, \dots)

Elemente von

V_{\infty}

. Das Produkt

f \cdot g

ist definiert als die Folge

(c_{0}, c_{1}, c_{2}, \dots)

mit

c_{k} = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} b_{k - i}

.
Der Vektorraum

V_{\infty}

ist mit der komponentenweisen Addition und der eben definierten Multiplikation ein kommutativer Ring: das Einselement ist die Folge

(1, 0, 0, 0, \dots)

.
Interessant sind die Folgen des Typs

e_{i}

mit

e_{1} = (0, 1, 0, 0, \dots)

e_{2} = (0, 0, 1, 0, \dots)

e_{3} = (0, 0, 0, 1, \dots)

. Daraus ergibt sich

e_{s} \cdot e_{t} = e_{s + t}

, insbesondere

e_{1}^{n} = e_{n}

. Wir definieren

x := e_{1}

.
Was passiert, wenn man in Polynome konkrete Werte einsetzt, z.B Matrizen. Sei

K

ein kommutativer Körper, und sei

R

ein Ring mit Einselement

1

, der

K

enthält. Wenn man Körperelemente

k

mit der Matrix

k E_{n}

identifiziert (wobei

E_{n}

die Einheitsmatrix ist), kann man sagen, dass

K

ein Unterring von

R

ist. Dieser Ring enthält auch ein Einselement, nämlich die Einheitsmatrix.
Das Polynom

f

K [x]

dient quasi nur als Muster zur Bildung von

f (r)

. Bei der Bildung von

f (r)

kommen nur Addition und Multiplikation von

R

vor.
Dies ermöglicht es, Polynome in

K [x]

auf Elemente in

R

anzuwenden, indem

x

durch ein Element

r

aus

R

ersetzt wird.
Satz vom Einsetzungshomomorphismus: Sei

r

ein Element des Rings

R

. Wenn

r

mit jedem Element von

K

vertauschbar ist (d.h.,

k r = r k

und somit

k r^{2} = r^{2} k

usw. für alle

k

aus

K

), dann gilt für alle Polynome

f, g

aus

K [x]

, dass

(f + g) (r) = f (r) + g (r)

und

(f \cdot g) (r) = f (r) \cdot g (r)

Man sagt dann auch, dass die Abbildung

Φ : K [x] \to R : f \mapsto f (r)

Ein Ringhomomorphismus ist und nennt ihn den Einsetzungshomomorphismus.
Ich verstehe einfach nicht warum exakt das Manöver mit dem Ring gemacht wird, also dass der Ring den Körper "enthält"? Für was wird das gemacht? Dadurch ändert sich ja nicht die Fähigkeit der Matrizen, sie bleiben Ringe, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Deutschspezi aktiv_icon

17:56 Uhr, 18.02.2024

Um dieses mathematische Problem zu lösen, müssen wir zuerst verstehen, was in dem Text beschrieben wird. Es handelt sich um die Definition eines Polynoms über einem kommutativen Körper K und eines Vektorraums V∞, der unendliche Folgen von Elementen aus K enthält. Es werden auch die Basis B und die Multiplikation auf V∞ eingeführt.

Das gesuchte x wird als ei definiert, wobei ei eine Folge ist, die an der i-ten Stelle eine 1 hat und sonst aus Nullen besteht.

Weiter wird beschrieben, wie Polynome auf Elemente in einem Ring mit Einselement angewendet werden können, indem man x durch ein Element aus dem Ring ersetzt. Dies führt zu dem Satz vom Einsetzungshomomorphismus, der besagt, dass für Polynome f,g aus K[x] bestimmte Rechenregeln gelten, wenn man sie auf ein Element r aus dem Ring anwendet.

Der Einsetzungshomomorphismus Φ wird als Ringhomomorphismus definiert, der Polynome aus K[x] auf Elemente in R abbildet.

Der Leser fragt sich, warum genau dieser Schritt mit dem Ring gemacht wird und was der Sinn dahinter ist. Es geht um die Anwendung von Polynomen auf Elemente in einem Ring und die daraus resultierenden Rechenregeln. Es wird erklärt, dass dies die Fähigkeit ermöglicht, Polynome auf Matrizen anzuwenden, indem man x durch ein Element aus dem Ring ersetzt.

Um das Problem zu lösen, müssen wir verstehen, wie Polynome auf Elemente in einem Ring angewendet werden und wie der Einsetzungshomomorphismus funktioniert. Anhand von konkreten Beispielen und Rechnungen können wir die Konzepte besser verstehen und anwenden.
Die Einsetzungshomomorphismus ermöglicht es, Polynome in K[x] auf Elemente in R anzuwenden, indem x durch ein Element r aus R ersetzt wird.

michaL aktiv_icon

20:05 Uhr, 18.02.2024

Hallo,

> Ich verstehe einfach nicht warum exakt das Manöver mit dem Ring gemacht wird, also dass der Ring
> den Körper "enthält"? Für was wird das gemacht? Dadurch ändert sich ja nicht die Fähigkeit der Matrizen, sie bleiben Ringe,
> oder?

Wenn ich das richtig sehe, läuft das letztlich darauf hinaus, das charakteristische und das Minimalpolynom zu definieren.

Damit wird letztlich die Eigenwerttheorie aufgebaut bis hin zur jordanschen Normalform.

Mfg Michael

Thorstenata aktiv_icon

10:31 Uhr, 19.02.2024

Nein, die Verwendung von Ringen mit einem einzigen Element ändert nichts an den Fähigkeiten von Matrizen. Matrizen sind immer noch Ringe, und alle ihre Eigenschaften bleiben erhalten www.europadonna.at/images/Flip/Leseprobe%20Du%20bist%20nicht%20allein . Ich habe interessante Spiele zur Entwicklung der Logik gefunden. Hier komme ich ins Spiel. Du kannst deine mathematischen Fähigkeiten verbessern und Spaß haben.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1582659

1582356

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?