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Einsetzungshomomorphismus ist Ringhomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: einsetzungshomomorphismus, Polynomring, Ring, Ringhomomorphismus

flowerpower1234 aktiv_icon

17:32 Uhr, 11.05.2014

Hallo zusammen,

ich möchte folgenden Beweis führen:

Sei

R

ein kommutativer Ring mit Einselement. Zeigen Sie, dass für jedes Element

a \in R

der Einsetzungshomomorphismus

e \cdot v_{a} : R [X] \to R, f \to f (a)

ein Ringhomomorphismus ist.

So, ich muss ja nun zeigen, dass
für alle

a, b \in R

gilt

f (a + b) = f (a) + f (b), f (a \cdot b) = f (a) \cdot f (b)

e \cdot v_{a} (a) \cdot e \cdot v_{b} (b) = \sum_{i \in ℕ_{0}} t_{i} \cdot a^{i} \cdot \sum_{i \in ℕ_{0}} t_{i} \cdot b^{i} = \sum_{i \in ℕ_{0}} t_{i} \cdot (a^{i} \cdot b^{i}) = e \cdot v_{a \cdot b} (a \cdot b)

e \cdot v_{a} (a) + e \cdot v_{b} (b) = \sum_{i \in ℕ_{0}} t_{i} \cdot a^{i} + \sum_{i \in ℕ_{0}} t_{i} \cdot b^{i} = \sum_{i \in ℕ_{0}} t_{i} \cdot (a^{i} + b^{i}) = e \cdot v_{a + b} (a + b)

Das zweite "=" gilt jeweils wegen der Distributivität im Ring R.

Stimmt das so, wie ich mir das überlegt hab?

Danke für Feedback.

Grüsse flowerpower1234

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

07:54 Uhr, 12.05.2014

"So, ich muss ja nun zeigen, dass
für alle

a, b \in R

gilt

f (a + b) = f (a) + f (b), f (a \cdot b) = f (a) \cdot f (b)

"

Nein. Da Deine Abbildung aus

R [X]

nach

R

geht, musst Du zeigen,
dass für

f, g

aus

R [X]

und

a

aus

R

gilt

φ (f + g) = φ (f) + φ (g)

und

φ (a f) = a φ (f)

, wo

φ

- der Homomorphismus ist.

Dein

e \cdot v_{a}

ist aber gar nicht auf Elementen aus

R [X]

definiert. Und die Schreibweise ist auch etwas komisch, wozu

e

vorne?
Richtig wäre:

v_{a} (f) := f (a)

, das ist die korrekte Definition des Einsetzungshomomorphismus. Von mir aus geht auch

v_{a} (f) := e \cdot f (a)

mit Einselement

e

, denn das ist dasselbe. :-).

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