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Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Schüler

Tags: Eintrittswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeistberechnung

Montolioo aktiv_icon

17:19 Uhr, 22.01.2019

Hallo,
ich hänge gerade an einem Problem.
Und zwar möchte ich die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten folgenden Ereignisses berechnen.
Wahrscheinlichkeit des 1. Eintritts

= 2 %

Jedes weitere Ereignis hat eine um

0,2 %

höhere Wahrscheinlichkeit.

Meine Idee war also erst:

2 % + 2,2 % + 2,4 % + 2,6 % =

Eintrittswahrscheinlichkeit nach 4 Ereignissen.

Mein Gefühl sagt mir aber das ich die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach addieren kann?! Gibt es eine Formel zur Lösung des Problems?

Danke schonmal

Andi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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17:25 Uhr, 22.01.2019

Wie lautet die Aufgabe im Original?
Geht es um ein Ereignis oder verschiedene? Wie ist der genaue Sachverhalt?

Montolioo aktiv_icon

23:20 Uhr, 22.01.2019

Es geht um verschiedene Ereignisse die nacheinander mit den genannten Wahrscheinlichkeiten eintreten.
Berechnet werden soll, wie hoch die Wahrscheinlichkeit nach

x

Ereignissen ist.

Montolioo aktiv_icon

00:46 Uhr, 23.01.2019

Also

z . B

. der folgender Fall:
ich schlage mit einem Hammer einen Nagel ein.
Der Hammer hat beim ersten mal eine Chance kaputt zu gehen von

2 %

.
Danach hat er durch die Abnutzung/Materialermüdung eine Wahrscheinlichkeit von

2,2 %

usw.

Nach wie vielen

(x)

Schlägen wird der Hammer also mit hoher Wahrscheinlichkeit zerbrechen. (Funktion geht gegen 1?)

pwmeyer aktiv_icon

09:29 Uhr, 23.01.2019

Hallo,

so wie ich das jetzt verstehe, sei

p_{n}

die Wkt, dass der Erfolg in n-ten Versuch eintritt. Dann ist ddie Wkt für Erfolg im

(n + 1)

ten Schritt:

(1 - p_{n}) \cdot (0.02 + (n - 1) \cdot 0.002)

also Wkt, dass die ersten

n

Schritte erfolglos waren, aber der (n+1)-Schritt erfolgreich.

Allerdings sehe ich nicht so schnell, wie man das in eine geschlossene Form bringen kann.

Gruß pwm

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09:44 Uhr, 23.01.2019

Das Problem ist, dass sich die WKT mit jedem Versuch ändert.

HAL9000

10:12 Uhr, 23.01.2019

> Allerdings sehe ich nicht so schnell, wie man das in eine geschlossene Form bringen kann.

Ich bezeichne mal mit

q_{n}

die Wahrscheinlichkeit, dass KEINS der Ereignisse 1 bis

n

eingetreten ist. Start ist

q_{0} = 1

mit Iteration

q_{n + 1} = q_{n} - q_{n} \cdot (0.02 + n \cdot 0.002) = 0.002 (490 - n) q_{n}

für

n = 0, 1, 2, \dots, 490

mit der expliziten Darstellung

q_{n} = 0.00 2^{n} \cdot \frac{490!}{(490 - n)!}

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12:35 Uhr, 23.01.2019

Ist die

490

willkürlich gewählt? Entstünde nicht eine Division durch 0 bei

n = 490

?
Wie sähe eine Wahrscheinlichkeitskurve bei der Formel aus?

HAL9000

12:50 Uhr, 23.01.2019

> Ist die 490 willkürlich gewählt?

Nein: Spätestens in Zug 491 ist man am Ziel, denn für diesen Zug hat man Wahrscheinlichkeit 1.

> Entstünde nicht eine Division durch 0 bei

n = 490

?

Nein: Bei

n = 490

wird nicht durch

0

, sondern durch

0!

geteilt!

Für

n > 490

ist dann übrigens

q_{n} = 0

, s.o.

Roman-22

13:19 Uhr, 23.01.2019

>

Nach wie vielen

(x)

Schlägen wird der Hammer also mit hoher Wahrscheinlichkeit zerbrechen. (Funktion geht gegen 1?)
NEIN! Die "Funktion". also vl eher die Folge der WKTen, geht NICHT gegen

1,

wie das sinnvoll wäre, sonder bei deiner Interpretation

(2 % 2,2 % 2,4 % 2,6 % ...)

kann diese WKT beliebige große Werte, also auch Wert über

1,

annehmen, was natürlich falsch ist.
Vielleicht möchtest du die "Angabe" nochmals überdenken?

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16:49 Uhr, 23.01.2019

Hmm.. Ja.. da hast Du Recht..

Okay... wie würde ich die Wahrscheinlichkeiten für ein konkretes

n

berechnen.
Also

z . B

n = 15; n = 20; n = 25

etc.

Roman-22

17:11 Uhr, 23.01.2019

Vielleicht klärst du erst, ob du wirklich dabei bleiben möchtest, dass die WKTen eine arithmetische Folge bilden sollen.

Außerdem:

a)

Von welchem Ereignis soll zB

2,4 %

die WKT sein? Genaue Formulierung

b)

Von welchem Ereignis (genau!) möchtest du nun die WKT wissen

c)

pwmeyer und HAL haben dir Ansätze und Formeln geliefert, die du, abgesehen von der irrtümlichen Annahme einer Division durch Null, keines Kommentars gewürdigt hast. Warum nicht? Beide sind davon ausgegangen, dass es sich bei deinen gegebenen, sich ändernden WKTen um bedingte WKTen handelt. ist das richtig?

Montolioo aktiv_icon

17:23 Uhr, 23.01.2019

Quote:

a)

Von welchem Ereignis soll zB

2,4 %

die WKT sein? Genaue Formulierung

b)

Von welchem Ereignis (genau!) möchtest du nun die WKT wissen

c)

a) n 0 = 2 %, n 1 = 2,2 %, n 2 = 2,4 %

usw.

b)

Ich möchte ein beliebiges

n

berechnen können

(z . B

n 15, n 20, n 25)

c)

Ehrlich gesagt habe ich die Systematik der Formel nicht verstanden und bin deshalb nicht darauf eingegangen. Habe mich ein wenig geschämt.

: \frac{-}{}

N 1

kann nur eintreten wenn

n 0

nicht eingetreten ist,

n 2

nur wenn

n 1

nicht eingetreten ist usw.
Insofern sind sie voneinander abhängig!

Roman-22

17:36 Uhr, 23.01.2019

Leider beantwortest du die Fragen nicht und formulierst keine konkreten Ereignisse.
Dass du zB "ein n" berechnen möchtest, glaube ich nicht. Was immer "ein beliebiges n" auch sein mag.

Montolioo aktiv_icon

17:54 Uhr, 23.01.2019

Roman: Ich versuche mein bestes alle nötigen Infos zu liefern. Dein Glaube was ich möchte und was nicht hilft mir nicht dir konkret zu nennen was ich berechnen möchte.

Ich denke das Beispiel mit dem Hammer erklärt recht gut um was es mir geht.
Und das ich die Wahrscheinlichkeit eines Zerbrechens nach

x

Hammerschlägen ausrechnen können möchte hatte ich auch schon formuliert.

Ich verstehe deshalb ehrlich nicht was Du von mir noch an Infos benötigst!

Roman-22

18:51 Uhr, 23.01.2019

Auf die Frage, ob die WKTen wirklich eine geometrische Folge bilden sollen, bist du mit keinem Wort eingegangen.
Und es kann ja wohl nicht sein, dass du wirklich nicht formulieren kannst, von welchem Ereignis du genau eine Wahrscheinlichkeit berechnen möchtest, oder?
In der bisherigen Diskussion hatte

n

immer die Bedeutung einer Anzahl bzw. der Nummer eines bestimmten Ereignisses. Und du schreibst, um dein Anliegen zu präzisieren: "Ich möchte ein beliebiges $n$ berechnen können".
Im Ernst? Wirklich? Du möchtest also gar keine WKT von irgend einem Ereignis berechnen sondern in Wahrheit eine Anzahl? Könnte durchaus Sinn machen, zB die durchschnittliche Anzahl von Versuchen bis zum "Erfolg". Nur hast du bisher so geschrieben, dass man eher anderes vermutet hätte.

Bis zu einer tatsächlichen Präzisierung der Aufgabenstellung darf ich dir also die Lösung für eine der möglichen Interpretationen deiner Frage mit

p (n) = \frac{490! (n + 9)}{500^{n} \cdot (491 - n)}

für

1 \leq n \leq 491

0 sonst
Erwartungswert rund

20,7

angeben.

Montolioo aktiv_icon

19:22 Uhr, 23.01.2019

Romans du hast Recht

Richtig wäre die Formulierung : "Ich möchte die WKT eines beliebigen Ereignisses berechnen können"

Editet!

Roman-22

19:39 Uhr, 23.01.2019

>

Richtig wäre die Formulierung : "Ich möchte die WKT eines beliebigen

n

berechnen können"
Auch nicht, denn "ein n" ist eine Zahl und kein Ereignis!
EDIT: Sehe eben dass du editiert und die Sache auch noch verschlimmbessert hast, wenn du nun formulierst: "Ich möchte die WKT eines beliebigen Ereignisses berechnen können". Das klingt so, als wäre dir das Ereignis an sich völlig egal, Hauptsache die WKT irgend eines Ereignisses.
Denn genau darum geht es - dass du nämlich das konkrete Ereignis, um das es dir geht, präzise formulierst.

Ein Ereignis ist sowas wie
"Kommenden Sonntag wird es mindestens 5 Stunden lang ungetrübten Sonnenschein geben"
oder
"In höchstens fünf Tagen werde ich meine Verkühlung auskuriert haben"
oder
"Es wird noch mindestens 5 Tage dauern bis ich wieder gesund bin"
oder
"In genau drei Tagen wird es ein heftiges Gewitter geben."
oder
"Dieser Hammer wird mindestens

100

Nägel einschlagen, bevor er bricht".
Für solche Ereignisse könnte man vl eine WKT angeben (sie berechnen zu wollen könnte sich als problematisch erweisen).

Das sind relativ präzise formulierte Ereignisse - auch wenn durchaus monieren könnte, dass Begriffe wie "ungetrübter Sonnenschein", "auskuriert", "gesund sein" oder "heftig" noch genauer definiert werden müssten.
Beachte aber insbesondere die Verwendung von "mindestens", "höchstens", "genau".

Dein "Ich möchte die WKT eines beliebigen

n

berechnen können!" ist dagegen leider kein erfüllbarer Wunsch. Was genau soll das denn bedeuten, etwa die WKT von 5 zu berechnen??

Wie schon früher geschrieben - du müsstest einerseits genau angeben, von welchem Ereignis zB die

0,028

aus deiner Serie

0,02, 0,022, 0,024, . .

. die WKT sein sollen und auch von welchem Ereignis du im Gegensatz dazu die WKT suchst.

Montolioo aktiv_icon

22:54 Uhr, 23.01.2019

Hallo Roman,

ich suche eine Funktion:

mit

x =

Anzahl der Ereignisse

y =

absolute Höhe der WKT
Jedem

x

ist eine Eintrittswahrscheinlichkeit zugeordnet die nach jedem "nicht" eingetretenen Ereignis um

0,2 %

steigt.
Startend bei

x (0) = 2 %

.

Ich würde die WKT aber einfach nur addieren. Und ich glaube das ist falsch?!?

Also mit anderen Worten:
Ist die WKT von

x (1) = 4,2 %

x (2) = 6,6 %

x (3) = 9,2 %

usw?

Roman-22

00:01 Uhr, 24.01.2019

Die Formulierung ist leider wieder unbrauchbar

Die Lösung für deine Aufgabe, soweit man diese bisher vermuten kann, habe ich dir bereits um

18 : 51

mitgeteilt.
Das Aufsummieren deiner WKTen ist daher, wie du selbst ja auch schon vermutetest, falsch.

Es geht hier offenbar um unterschiedliche Ereignisse:
Es werden kontinuierlich Versuche unternommen und bei jedem dieser Versuche kann ein bestimmtes Ereignis (zB das Ereignis "Hammer bricht") eintreten. Sobald dieses Ereignis eintritt, ist die Versuchsserie zu Ende.

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisse ("Hammer bricht") ist beim ersten Versuch

2 %

und erhöht sich mit jedem Versuch um

0,2 %

.

Dich interessiert nun vermutlich die Wahrscheinlichkeit, dass die Versuchsserie aus genau

n

Versuchen besteht (also zB dass der Hammer beim n-ten Nagel kaputt geht).
Es interessiert also nicht das Ereignis "Hammer bricht", sondern das Ereignis "Hammer bricht genau beim n-ten Versuch.

Da deine WKTen eine arithmetische Folge bilden, deren

491

. Glied den Wert 1 annimmt, bedeutet das, dass, falls die Serie nicht schon früher geendet hat, sie mit Sicherheit beim 491.Versuch endet.
Daraus ergibt sich dann auch die angegebene Gültigkeit für meine Formel nur für ganzzahlige

1 \leq n \leq 491

. Für alle anderen Werte von

n

ist die WKT Null.

Deine AngabeWKTen sind sog. bedingte WKTen. Deine WKT

2,6 %

für den 4. Versuch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Serie beim vierten Versuch zu Ende ist, unter der Annahme dass sie nicht schon früher geendet hat.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Serie genau beim vierten Versuch endet, setzt also voraus, dass sie bei den drei Versuchen zuvor nicht geendet hat.
Die WKT, dass sie beim ersten Versuch nicht endet ist

(1 - 0,02)

Die WKT, dass sie beim ersten und zweiten Versuch nicht endet ist

(1 - 0,02) \cdot (1 - 0,022)

Die WKT, dass sie bei den ersten drei Versuchen nicht endet ist

(1 - 0,02) \cdot (1 - 0,022) \cdot (1 - 0,024)

Und die WKT, dass sie genau beim vierten Versuch endet ist daher

(1 - 0,02) \cdot (1 - 0,022) \cdot (1 - 0,024) \cdot 0,026

.

Diese Überlegung kann man in eine allgemeine Formel gießen, welch zunächst vermutlich das Produktzeichen enthalten wird und diese Formel kann man dann zu der von mir schon früher angegebenen Formel unter Verwendung der Faktoriellen vereinfachen.
Die Formel unter Verwendung des Produktzeichens hat aber den Vorteil, dass man mit ihr

u . U

auch noch auf Geräten die WKT berechnen kann, die Faktorielle oder generell Zahlen ab einer gewissen Größe verweigern.
Schließlich ist

490! \approx 1,4 \cdot 10^{1107}

und

500^{490} \approx 3,1 \cdot 10^{1322}

1456594

1456372

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