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Eisenstein-Zahlen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Quadratische Zahlkörper

Muckel1979 aktiv_icon

12:24 Uhr, 11.12.2018

Hallo!

Leider konnte ich in der VL zu den Eisenstein-Zahlen nicht anwesend sein.

Könnte mir einer evtl. helfen, wie ich folgende Aufgaben lösen kann.

Es geht um die Arithmetik der Eisenstein-Zahlen

Q (\sqrt{3})

a)

Gezeigt werden soll, dass alle Primzahlen

p

kongruent 2 modulo 3 träge, also wiederum irreduzible sind. Hinweis: Welche Norm müsste ein hypothetischer Teiler haben? Gibt es solche Zahlen?

b)

Gezeigt werden soll, dass alle Primzahlen

p

kongruent 1 modulo 3 Produkt zweier Eisenstein-Primzahlen sind. Hinwies: Welche Norm müsste ein Teiler von

p

haben? Kann man ggf. eine solche Zahl konstruieren?

c)

Berechnen Sie alle Primzahlen mit Norm

< 30

und zeichnen Sie die in die komplexe Zahlenebene ein.

Bei

c)

gehe ich mal davon aus, dass es eine reine „Fleißarbeit“ ist. :-P)

Ich bin für jeden Tipp dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:00 Uhr, 11.12.2018

Hallo,
du meinst vermutlich eher

ℚ (ω)

mit

ω^{2} + ω + 1 = 0

,
oder?
Das wäre dann aber

ℚ (\sqrt{- 3}) = ℚ (i \sqrt{3})

ermanus aktiv_icon

13:51 Uhr, 11.12.2018

Hier noch ein paar nützliche Infos zu den Eisensteinzahlen:
Es ist

ω = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}

eine Lösung von

ω^{2} + ω + 1 = 0

.
Das ist eine primitive 3-te Einheitswurzel.

\overline{ω}

ist die andere primitive 3-te Einheitswurzel
und es gilt

\overline{ω} = ω^{2}

{1, ω}

ist eine Ganzheitsbasis des quadratischen Zahlkörpers.
Mit

x = a + b ω

bekommt man

N (x) = x \overline{x} = a^{2} - a b + b^{2}

.
Hiermit kannst du vielleicht schon a) lösen?

Muckel1979 aktiv_icon

14:03 Uhr, 11.12.2018

Dankeschön schon mal, schaue mir das nachher genauer an.

Bei

c)

bin ich inzwischen darauf gekommen, dass der Zwei-Quadrate-Satz greifen müsste.
Habe danach folgende Wurzeln für

n < 30

in der Form a+bi aufgeschrieben:

\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{9}

(also

3), \sqrt{13}, \sqrt{17}

und

\sqrt{29}

Meines Erachtens lassen sich alle anderen Primzahlen nicht darstellen.

ermanus aktiv_icon

14:10 Uhr, 11.12.2018

In den Gaussschen Zahlen wäre das OK.
Aber bei der Norm der Eisensteinzahlen
tritt der zusätzliche Summand

- a b

auf, der macht das Ganze
schwieriger,
z.B. ist

2

nach a) keine Norm.

Muckel1979 aktiv_icon

13:53 Uhr, 12.12.2018

Vielen Dank.

Die letzte Aufgabe habe ich.

Liege ich richtig, dass für die Norm für Nicht-Prima in den Eisenstein-Zahlen kongruent

1 mod (3)

sind, während für Primelemente die Norm kongruent

2 mod (3)

sein muss?

Mich irritiert etwas, dass ich in einem Artikel gefunden habe, dass ein Primelement aus x=a+bw konstruiert werden kann, wenn entweder a kongruent

2 mod (3)

ist oder die Norm kongruent

1 mod (3)

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