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Elementare Funktionen, asymptotischen Sättigungsg.

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Sättigungsgrenzwerte.

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23:37 Uhr, 15.10.2016

Hallo Zusammen,

Ich bin zu dem Punkt gekommen, wo ich in der Vorlessung nur noch Bahnhof verstehe.

Aufgaben:

Skizzieren Sie jeweils den Verlauf der folgenden Funktionen:
1.

f (t) = 5 e^{- t} cos (3 t)

für

- π \leq t \leq π

f (t) = 5 - 4 e^{- 2} t

für

0 \leq t \leq 2

Zu welchem Zeitpunkt

t

wird

80 %

des asymptotischen Sättigungsgrenzwertes erreicht.

Kann mir jemand sagen wie ich diese Aufgabe lösen step-by-step.
danke.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Stephan4

10:11 Uhr, 16.10.2016

Step by Step:
Wie weit kommst Du?
Weisst Du, wie man eine Funktion skizziert?
Weisst Du, was Prozent,

cos (3 t)

und

e^{- t}

bedeutet?

Wenn Du das mit ja beantworten kannst, mach mal eine Zeichnung.

Dann:

(1)

5 e^{- t} cos (3 t) = 5 e^{- t} \cdot 80 %

cos (3 t) = 0,8

3 t + 2 k π = \pm 0,6435

t = \pm 2,31 & \pm 1,88 & \pm 0,21

(2)

5 - 4 e^{- 2 t} = 5 \cdot 80 %

t = 0,69

:-)

Atlantik aktiv_icon

10:19 Uhr, 16.10.2016

b) f (t) = 5 - 4 \cdot e^{- 2 t} = 5 - \frac{4}{e^{2 t}}

1 .)

Sättigungswert bei

t = 2 \to

2 .) 80 %

des Sättigungswertes->

3 .)

Bei welchem Zeitpunkt

t

ist dieser erreicht->

mfG

Atlantik

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10:30 Uhr, 16.10.2016

Danke für eure Antworte.

Ich bin leider noch nicht soweit.
ich weiss nicht was

cos (3 t)

und

e^{- t}

bedeuten.
könnt ihr mir sagen welche Begriffe soll ich in google bzw youtube eingeben. Mein Skript hilf mir leider nicht weiter.

abakus

11:45 Uhr, 16.10.2016

Was willst du mit Scripten?
Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen sollten (in welchem Bundesland auch immer) Unterrichtsstoff der 10. Klasse gewesen sein.
Hast du noch deine Mathehefter von damals?

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11:58 Uhr, 16.10.2016

Hallo,

Leider habe ich mein Schulabschluss nicht in DE gemacht. bin auch kein Deutscher :-)
Und ich bin leider nicht mehr so jung. Mathestoff aus der Schule habe ich schon längst vergessen. Trotzdem wollte ich Informatik studieren.

Aber Danke. Dann Schaue ich mal erst Exponentialfunktion und Trigonometrische Funktionen an. Wenn ich soweit bin, komme ich zurück.

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02:37 Uhr, 17.10.2016

Also.. nach einer kleinen recherche habe ich das:

die algemeine Form einer

cos

Funktion

f (x) = a . cos (b + (x + c)) + d

a verändert die Amplitude

b

verändert die Periode

c

verändert die Lage in

x

-richtung

d

verändert die Lage in

y

-richtung

nun verstehe ich leider nicht wie Stephan von

cos (3 t)

3 t + 2 k π

brachte. und wieso am Ende 3 Ergebnisse raus kommt.

Ich danke für jede Hilfe.

Roman-22

04:10 Uhr, 17.10.2016

Also die Sache mit den

80 %

der asymptotischen Sättigung steht doch vermutlich nur bei der zweiten Funktion dabei, oder?
Denn die erste Funktion strebt für

t \to \infty

gegen 0 und

80 %

von 0 ist immer noch 0. Da wäre die Fragestellung nicht sehr sinnvoll.

Warum Stephan4 da meint,

80 %

von der Dämpfungsfunktion

5 \cdot e^{- t}

mit der abklingenden Schwingung

f (t)

zum Schnitt bringen zu müssen, ist mir völlig unklar. Bei der ersten Funktion ist der Begriff Sättigungsgrenzwert überhaupt nicht sinnvoll, da es sich um einen Abklingvorgang handelt - die Funktion strebt für wachsende Zeitwerte gegen Null. Also die erste Funktion ist meiner Interpretation nach nur zu zeichnen, sonst nichts.

Lass dich auch von Atlantik nicht verwirren. Er hat nicht bemerkt, dass es sich beim asymptotischen Sättigungsgrenzwert keineswegs um den Funktionswert an der, nur für die Zeichnung angegebenen, Obergrenze handelt. Da wäre ja der Terminus "asymptotisch" völlig sinnfrei!

Der asymptotische Sättigungsgrenzwert ist schlicht

lim_{x \to \infty} f (x),

also der Wert, gegen den die Funktion bei stetig wachsender Zeit strebt. Dieser Wert ist bei der zweiten Funktion 5 und wird de facto in endlicher Zeit nie erreicht. Um zu berechnen, wie lange es dauert, bis

80 %

davon

(80 % \cdot 5 = 4)

erreicht sind, musst du die Gleichung

f (t) = 0,8 \cdot 5,

also

5 - 4 \cdot e^{- 2 t} = 4

nach

t

auflösen.
Hast du eine Idee, wie man da vorgehen muss? Da kommt eine weitere wichtige Funktion ins Spiel, nämlich die Logarithmusfunktion. Das wär vermutlich die nächste, nach Exponentialfunktion und

cos,

die du nachschlagen solltest. Da gibts auch ein paar wichtige Rechenregeln dafür, die man parat haben sollte.

Zu deiner Kontrolle: Die Lösung ist, dass nach

t = ln (2) \approx 0,693

diese

80 %

der Sättigung erreicht sind.
Du siehst diese Stelle auch in der ersten Zeichnung, die Stephan4 mitgeschickt hatte. Es passiert zu jenem Zeitpunkt, da die waagrechte rote Gerade in der Höhe 4 den blauen Graphen der Funktion

f

schneidet.
In rot ist in der Höhe 5 der Sättigungswert eingezeichnet, dem sich die blaue Kurve immer mehr nähert (asymptotisch), aber nie genau erreicht.

R

P . S . :

IN der allgemeinen Kosinunsfunktion, die du angeschrieben hast, sollte nach

b

ein Multiplikationszeichen stehen, kein

+

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11:00 Uhr, 17.10.2016

Hallo Roman,
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Also bei der Aufgabe 1 muss ich also nur zeichnen.

Eignetlich dürfen wir bei der Aufgabe keinen Taschenrechner benutzen. Ich nehme also an, dass solche Aufgabe bei der Klausur wohl nicht vorkommen.

also ich gehe wie folgt vor:
1. Definitionsberreich anschauen. hier

π \leq t \leq π

2. Periode ermitteln. hier

cos (3 t)

das heisst die Periode ist 3 mal kürzer.

3 t = 2 π

also die Periode ist

\frac{2 π}{3}

das heisst die Entfernung vom Bergspitz bis zur Nullstelle beträg also

\frac{1}{6} π

3. Nullstelle bei

cos

funktion ist

\frac{π}{2} + k π

mit der aktualisierten Periode ist also

\frac{1}{6} π + k \frac{1}{3} π

f (t)

ermitteln bei

t

wo keine Nullstellen sind.
5. Punkte ansetzen und die Funktion zeichnen.

Kannst du mir ein Feedback geben. bzw. eine einfachere Vorgehensweise sagen.

Grüße

Roman-22

14:46 Uhr, 17.10.2016

Also ohne TR wär das schon ein wenig schwierig. Weniger wegen

cos (3 t),

denn den bekommt man mit Überlegungen wie den deinen schon ganz gut hin und für Werte wie

t = 0, t = \pm \frac{π}{18}, t = \frac{π}{12}, t = \frac{π}{9}, t = \frac{π}{6},

etc. sollte man die genauen Werte von

cos (3 t)

auch auswendig parat haben. Der Graph der Kosinusfunktion lässt sich damit schon recht gut eintragen. IdR Regel reichen dafür auch die Nullstellen und die Hoch- und Tiefpunkte.
Aber die Werte für den Faktor

e^{- t}

kann man nur grob schätzen. Für

t = 0

und

t = 1

sollte man sie wissen, für

t = - 1

vielleicht auch noch, aber dann ist idR Schluss und man ist auf Überschlagswerte angewiesen.

Am besten ist es ohne TR vermutlich, wenn man die Kosinusfunktion

5 \cdot cos (3 t)

leicht einzeichnet

(\in

beigefügter Grafik grün strichliert). Wichtig sind hier vor allem die Nullstellen.
Dann zeichnet man sich die Hüllkurven

5 \cdot e^{- t}

und

- 5 \cdot e^{- t}

ein.
Wenn man

e^{π}

grob mit ca

25

(etwas kleiner als

3^{3})

abschätzt, kommt man für

5 \cdot e^{π}

auf ca

125

(tatsächlicher Wert ca.

116)

. Also hat man die "Anfangs"punkte

(- π / \pm 125)

und dass diese Hüllkurven durch

(0 / \pm 5)

laufen, weiß man ebenso wie, dass sie sich für

t \to \infty

asymptotisch der x-Achse nähern. Damit sollten sie sich schnell so einigermaßen einzeichnen lassen

(\in

der Grafik in rot und orange).
Und nun nudelt man die eigentlich gesuchte Kurve (blau) so rein, dass sie im Wesentlichen das Verhalten der Kosinusfunktion zeigt, aber eben eben von den Graphen der Exponentialfunktionen begrenzt wird.
Diese blaue Kurven hat zwar die gleichen Nullstellen wie die grüne Kosinusfunktion, ihre Hoch- und Tiefpunkte liegen aber nicht an den gleichen Stellen sondern etwas links davon. An den Stellen, an denen die Kosinusfunktion ihre Scheitel hat, findet die Berührung mit den Hüllkurven statt.

R

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18:37 Uhr, 17.10.2016

Vielen Dank

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