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Elementarmatrix Definition

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

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12:01 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

in der Vorlesung haben wir folgende definition kennengelernt:

Jede Matrix,der Form:

E = I - λ \cdot u \cdot v^{T}

mit

λ \in ℝ, u, v \in ℝ^{n}

wird als Elementarmatrix bezeichnet.

Nun muss

v

und

u

lau Definition ja kein Einheitsvetor sein.

Das widerspricht doch dann aber der Definition in Wiki, oder?:
Unter einer Elementarmatrix oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer

n

n

Einheitsmatrix I_n unterscheidet.

pwmeyer aktiv_icon

12:18 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

ja, "Deine" Definition ist ein Verallgemeinerung der Definition in Wiki.

Es geht ja bei den Elementarmatrizen darum, Matrizenumformungen als Multiplikation mit "Elementarmatrizen" zu beschreiben. Mit Deiner allgemeineren Definition kann man mehrere Operationen - Addition eines Vielfachen eine Zeile zu eine anderen - als eine Multiplikation zusammenfassen.

Gruß pwm

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14:43 Uhr, 08.10.2019

Hi, erstmal danke für deine Antwort.

So ganz klar ist es mir leider aber noch nicht.
Klar, bei "mir" kann

u

und

v

jeden beliebigen Vektor im

ℝ^{n}

annehmen.

D . h

. ich erhalte eine Matrix

E

die sich im Grunde komplett von I unterschieden kann, oder?
Das widerspricht doch aber Wikipedia.

z . B

.
(Spaltenvektoren)

u = (1; 2; 3; 4)

v = (4; 3; 2; 1)

pwmeyer aktiv_icon

17:50 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

"So ganz klar ist es mir leider aber noch nicht."

Was genau meinst Du damit? Es geht um Definitionen, die werden vereinbart. Es liegen 2 verschiedene Definitionen von "Elementarmatrix" vor - ist eben so.

Wenn man in Deiner Definition die Möglichkeiten von

u

und

v

eineschränkt auf Vielfache der Standard-Einheits-Vektoren, dann erhält man die Definition in Wikipedia.

Welche Definition man benutzt, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

17:50 Uhr, 08.10.2019

u

und

v

eineschränkt auf Vielfache der Standard-Einheits-Vektoren, dann erhält man die Definition in Wikipedia.

Welche Definition man benutzt, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Gruß pwm

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19:51 Uhr, 08.10.2019

D . h

. es gibt keine einheitliche Definition von Elementarmatrizen in der Mathematik?

ledum aktiv_icon

22:33 Uhr, 08.10.2019

Hallo
die meist übliche Def ist die in wikipedia, aber euer Prof kann das definieren wie er will. Frag aber sicherheitshalber nach, vielleicht Stan vorher irgendwo an der Tafel -oder Skript- , dass

u, v

Einheitsvektoren sind.
Gruß ledum

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23:48 Uhr, 08.10.2019

Ok, danke

maxsymca

00:07 Uhr, 09.10.2019

Vielleicht einen Bezug zum Gauss-Alg.
Um die 1. Spalte einer Matrix zu 0en schreib ich n-1 Elementarmatrizen...
Mit dem dyadischen Produkt kann man den Schritt in einer Matrix zusammenfassen.
z.B

A := (\begin{array}{rrrr} 4 & - 5 & 3 & 6 \\ 5 & - 6 & 6 & 5 \\ - 4 & 2 & 11 & 3 \end{array})

(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - \frac{5}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \cdot A

((\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) + 1 (\begin{array}{r} 0 \\ - \frac{5}{4} \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \end{array})) \cdot A

Die Bedeutung der Vektoren wird dabei auch klar?

Kurve aktiv_icon

20:16 Uhr, 12.10.2019

Links von A steht dann praktisch die Elementarmatrix aus meiner gegebenen Definition, oder?

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