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Elemente von Restklasse ermitteln

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Konvergenz, modulo

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21:01 Uhr, 15.02.2012

Hallo,

vorab die Definitionen die ich verwende.

a, b e Z

heißen kongruent modulo

m,

falls

m

ein Teiler von

b - a

ist. Man schreibt

a = b mod m

.

Unter einer Restklasse a(Strich oben) modulo

m

versteht man die Menge a(Strich oben)=

{

e Z | a = b mod m}

Es gibt genau

m

Restklassen: Z_m=

{

0(Strich oben),1(Strich oben),...m-1(Strich oben)}

Ich habe

10 = 1 mod 9

gegeben.
Habe das ganze mal so nach gerechnet

b - a = - 9 = (- 1) \cdot 9

. Man sieht 9 ist gemeinsamer Teiler von a und

b

.

Laut Def. ist

b

also

{

1(Strich oben} Element von der Restklasse a bzw. 10(Strich oben)

Allerdings besagt widerum die Def. dass es

m

Restklassen gibt. also

0,1,2,3,4,5,6,7,8

10

ist gar nicht dabei. Außerdem würde ich gerne wissen wie ich die Elemente von den Restklassen

1,2,3,4 . .

. usw berechnen kann.

Wo ist mein Denkfehler?

SG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

00:31 Uhr, 16.02.2012

Hi,

die Zahlen 0,1,...,8 sind nur Vertreter der Restklassen. Die Restklassen sind Mengen von ganzen Zahlen, und z.B. ist

1 \in \bar{1}

, also ist

1

ein Vertreter der

\bar{1}

. Es gilt

10 \in \bar{1}

, ebenso

19, 27, - 8, - 17, 36

etc. Diese Zahlen sind ebenfalls nur andere Vertreter von

\bar{1}

. Daher wird die

10

der Restklasse

1

zugeordnet.

Gruß
Sina

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13:45 Uhr, 16.02.2012

Hallo,

danke für die Rückmeldung.

$10 \equiv 1 \mod 9 h a t Z_{m} = {\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}, \bar{7}, \bar{8}} Re s t k l a s s e n \bar{a} = {a + m * Z} z . B . \bar{0} = {..., \bar{- 18}, \bar{- 9}, \bar{0}, \bar{9}, 18, ...} \bar{1} = {..., \bar{- 17}, \bar{- 8}, \bar{1}, \bar{10}, 19, ...}$

z.B.

0+9*(-2) = -18 weil a=0 gehört -18 zur Restklasse 0(oben Strich)?

0+9*(-1) = -9 weil a=0 gehört -9 zur Restklasse 0(oben Strich)?

Nun meine Frage a(oben Strich)={a+m*Z} berechnet nur ein Element einer Restklasse, oder?.

Was mich verwirrt ist die Tatsache dass laut Angabe "10 kongruent 1 mod 9" 10=a und somit eine Restklasse 10 vorhanden sein muss.

Das widerspricht aber der Definition, dass es m Restklassen gibt (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Sina86

19:37 Uhr, 16.02.2012

Nein, die Restklasse von

10

ist die Restklasse von

1

, da

10 = 1 + 9

ist. Es gilt also

\bar{1} = \bar{10}

. Dabei handelt es sich bei

\bar{a} = {a + 9 k ∣ k \in ℤ}

um Mengen, die ganze Zahlen enthalten. Diese Zahlen nennt man dann die Vertreter (Repräsentanten) dieser Klassen.

Somit sind also

1

und

10

zwei verschiedene Repräsentanten derselben Restklasse. Im Restklassenring/in der Restklassengruppe

ℤ_{m}

werden alle Repräsentanten derselben Restklasse miteinander identifiziert.

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20:31 Uhr, 16.02.2012

Danke für die Ausführung.

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