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Elfer- und Quersummenregel ist es so richtig?

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Elferregel, kongruent, Kongruenz, modulo, Quersummenregel, Teilbarkeit

asg-2014 aktiv_icon

09:11 Uhr, 05.05.2014

Guten Morgen zusammen,

ich habe zwei Aufgaben bzgl. "Elferregel" und "Quersummenregel" gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob es so richtig ist.

Ich würde mich sehr freuen, wenn einer mir helfen und sagen könnte, ob es richtig ist bzw. Hinweise oder Tipps zur Verbesserung geben könnte s. Anhang.

Vielen Dank vorab

Liebe Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 05.05.2014

Du hast richtige Ansätze, aber sie sind zum Teil nicht sauber zu Ende geführt, aus meiner Sicht.
Ich schreibe auf, was ich dazu als die Lösung schreiben würde, dann kannst Du vergleichen:

a) 1. Aussage: für alle

i

aus

{0, 1, 2, . . .}

gilt

1 0^{i} = (- 1)^{i}

(mod

11

).
Beweis durch vollständige Induktion.
Induktionsanfang.

i = 0

: 1 0^{0} = 1 = (- 1)^{0}

(mod

11

) - stimmt.
Induktionsschritt. Sei

1 0^{i} = (- 1)^{i}

(mod

11

). Dann gilt

1 0^{i + 1} = 10 \cdot 1 0^{i} = 10 \cdot (- 1)^{i}

(mod

11

)

=

= (- 1) \cdot (- 1)^{i}

(mod

11

) =

(- 1)^{i + 1}

(mod

11

). Der Induktionsschritt ist bewiesen.

2. Divisionsregel. Jede Zahl geteilt durch

11

gibt denselben Rest wie ihre "alternierende Quersumme" bei der Teilung durch

11

gibt (für eine Zahl

a_{k} \cdot 1 0^{k} + a_{k - 1} \cdot 1 0^{k - 1} + . . . + a_{1} \cdot 10 + a_{0}

ist ihre "alternierende Quersumme"=

(- 1)^{k} a_{k} + (- 1)^{k - 1} a_{k - 1} + . . . + a_{2} - a_{1} + a_{0}

).
Beweis. Nach 1. gilt

1 0^{i} = (- 1)^{i}

(mod

11

). Daraus folgt sofort

a_{k} \cdot 1 0^{k} + a_{k - 1} \cdot 1 0^{k - 1} + . . . + a_{1} \cdot 10 + a_{0} = (- 1)^{k} a_{k} + (- 1)^{k - 1} a_{k - 1} + . . . + a_{2} - a_{1} + a_{0}

(mod

11

). Und diese Gleichung ist gleichbedeutend mit der Aussage der Divisionsregel.

b) Bestimmen den Rest von

1322775665

bei Division durch

11

nach a):

1322775665 = - 1 + 3 - 2 + 2 - 7 + 7 - 5 + 6 - 6 + 5 = 2

(mod

11

).
Aussage. Es gibt keine Zahlen

x

mit

x^{2} = 2

(mod

11

).
Beweis. Betrachten eine beliebiege Zahl

x

und teilen sie mit Rest durch

11

x = a \cdot 11 + b

b

aus

{0, 1, 2, . . ., 10}

. Dann gilt

x^{2} = a^{2} \cdot 1 1^{2} + 22 a b + b^{2}

, also

x^{2} = b^{2}

(mod

11

). Für die Zahlen

b

aus

{0, 1, 2, . . ., 10}

können wir alle Quadrate modulo

11

direkt berechnen:

0^{2} = 0, 1^{2} = 1, 2^{2} = 4, 3^{2} = 9, 4^{4} = 5, 5^{2} = 3, 6^{2} = 3, 7^{2} = 5, 8^{2} = 9, 9^{2} = 4, 1 0^{2} = 1

(alle Gleichheiten modulo

11

zu verstehen). Man sieht, dass

2

kein Quadrat von einer Zahl

b

aus

{0, 1, 2, . . ., 10}

sein kann, deshalb auch kein Quadrat einer beliebigen Zahl (modulo

11

).

Wenn wir Aussage auf die Zahl

1322775665

anwenden, sehen wir, dass sie kein Quadrat sein kann, denn sie ist

2

modulo 11 und keine Quadratzahl ist

2

modulo

11

asg-2014 aktiv_icon

13:06 Uhr, 05.05.2014

Hallo,

ganz herzlichen Dank für die großartige Hilfe.

Ja, das hatte ich mir gedacht, dass meine Lösungen nicht so sauber sind, vor allem muss ich an formalen Ausführungen viel arbeiten.

Ich werde gleich meine Lösung damit vergleichen und gebe dir Bescheid – ich muss mich noch parallel auf zwei weiteren Veranstaltungen vorbereiten ...

Bis später

Liebe Grüße

Asg

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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