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Elfmeterschießen, Wahrscheinlich

Schüler Gesamtschule,

Tags: Wahrscheinlichkeit

kleinmariee aktiv_icon

20:28 Uhr, 17.01.2020

Hallo, ich versuche gerade meine Mathe Aufgaben zu lösen, doch bekomme es alleine leider nicht hin, deshalb bitte ich um Hilfe!

Die Aufgabe lautet:
In einer Urne befinden sich

10

Kugeln, 3 weiße, 2 rote, und 5 schwarze. Es werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen.

a)

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen? Das habe ich bereit berechnet:

P (E) = \frac{14}{45}

Aber bei

b

komme ich nicht weiter:

b)

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in drei Durchgängen mindestens einmal zwei gleich farbige Kugeln zu ziehen?

Ich bitte um Hilfe!!
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

21:12 Uhr, 17.01.2020

Deine

\frac{14}{45}

für

a)

sind richtig

Und bei

b)

geht es nun darum, dass ein Ereignis mit WKT

p = \frac{14}{45}

eintritt und nun ist gefragt, dass dieses Ereignis bei drei Durchgängen mind. einmal auftritt.
Am einfachsten berechnest du diese WKT mithilfe des Gegenereignisses. Also berechne erstmal die WKT dafür, dass das Ereignis bei KEINEM der drei Versuche eintritt.
Formal gehts bei

b)

um Binomialverteilung.

kleinmariee aktiv_icon

21:17 Uhr, 17.01.2020

Das war auch meine Überlegung und deshalb habe ich das berechnet:

P(“keine fleischfarbigen“)=

1 - \frac{14}{15} = \frac{31}{45}

Jetzt würde ich

{(\frac{31}{45})}^{3}

rechnen, da es ja drei Durchgänge sind.

Wäre das so richtig?

kleinmariee aktiv_icon

21:18 Uhr, 17.01.2020

Das war auch meine Überlegung und deshalb habe ich das berechnet:

P(“keine gleichfarbigen“)=

1 - \frac{14}{15} = \frac{31}{45}

Jetzt würde ich

{(\frac{31}{45})}^{3}

rechnen, da es ja drei Durchgänge sind.

Wäre das so richtig?

Roman-22

21:26 Uhr, 17.01.2020

>

Wäre das so richtig?
Ja, das ist die WKT für das Gegenereignis.
Und jetzt eben noch die Ergänzung auf 1

P . S . :

Warum du den Thread mit "Elfmeterschießen" betitelst ist allerdings unklar ;-)

kleinmariee aktiv_icon

22:41 Uhr, 17.01.2020

Oh ja da habe ich wohl vergessen die Titel zu ändern, hatte erst vor eine andere Aufgabe zu stellen.

Warum muss man denn jetzt das gegenereignis nochmal minus 1 nehmen??

anonymous

00:18 Uhr, 18.01.2020

Hallo kleinMariee
Roman scheint schon zu Bett gegangen zu sein. Daher darf ich vielleicht ergänzen...

"Warum muss man denn jetzt das (G)egenereignis nochmal minus 1 nehmen??"

Ich empfehle immer, nicht nur irgendwelche Zahlen und Formeln hinzuschreiben, sondern auch in klaren Worten dir selbst (und vielleicht auch dem Leser) klar zu machen, was diese Zahlen und Formeln denn nun bedeuten.
Du wirst sehen, das hilft dir selbst am meisten zum Verständnis.

Wenn du mal den Hergang nochmals klar vor Augen führst und in Worte fasst, dann wirst du auch verstehen...

a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?

c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?

d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?

e)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in drei Durchgängen mindestens einmal zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

supporter aktiv_icon

06:37 Uhr, 18.01.2020

"Warum muss man denn jetzt das (G)egenereignis nochmal minus 1 nehmen??"

Weil du sonst nur durch Probieren zur Lösung kommst.
Der Aufwand ist viel höher.

kleinmariee aktiv_icon

07:53 Uhr, 18.01.2020

Hmm, aber wenn ich die Fragen nicht mal verstehe

anonymous

08:23 Uhr, 18.01.2020

"Hmm, aber wenn ich die Fragen nicht mal verstehe"
Welche Frage verstehst du nicht?
Du schienst doch auf einem sehr guten Weg. Du hast doch schon sieben Achtel der Problemchen bewältigt. Du hast doch nur ein klein wenig den Überblick verloren, wo du hin willst.

Würden wir
"Hmm, aber wenn ich die Fragen nicht mal verstehe"
wörtlich nehmen, dann müsste ich annehmen, dass du ein Deutsch-Problem bzw. ein Textverständnis-Problem hättest.
Aber ich habe eigentlich den Eindruck, dass das nicht wirklich das Problem ist.
Es ist viel mehr das übliche Schülerproblem, zu faul zu sein, neben die Zahlen und Formeln dir selbst den größten Gefallen zu tun, in klaren - gerne in deinen - Worten sich vor Augen zu führen, was diese bedeuten.

Also - fang mal an...

a)

. .

kleinmariee aktiv_icon

10:53 Uhr, 18.01.2020

Also ich bin absolut nicht faul, was Mathe angeht, mir macht Mathe sehr großen Spaß und ich verstehe es auch fast immer, aber Wahrscheinlich ist leider das Thema was ich nicht verstehe. Ich werde die Aufgaben rechnen und Ihnen dann nochmal schreiben :-)

anonymous

11:06 Uhr, 18.01.2020

...gerechnet hast du das doch schon lange. Du hast nur noch nicht recht das Verständnis gefunden, die bunten Zahlen auch in Worten zum rechten Zusammenhang zu führen...

kleinmariee aktiv_icon

11:13 Uhr, 18.01.2020

Ja genau das ist mein Problem, weshalb ich nach Hilfe gefragt habe, da mir der Zusammenhang noch nicht klar ist...

anonymous

11:19 Uhr, 18.01.2020

a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = \frac{14}{45}

Das hattest du doch selbst schon im allerersten Thread geschrieben und festgestellt.
es fehlt dir einfach an der Übersicht, was du doch schon mal verstanden hattest.

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?

...auch das hatten wir doch schon abgevespert... (Stichwort: Gegenwahrscheinlichkeit)

kleinmariee aktiv_icon

13:02 Uhr, 18.01.2020

Ja das hatte ich doch schon gesagt. Und da habe ich gefragt ob:

P(„keine gleichfarbigen“):

1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}

richtig ist

Und dann hatte ich gefragt ob man jetzt

{(\frac{31}{45})}^{3}

nimmt, da es ja drei Durchgänge sind.

Mir wurde dann gesagt, dass das nicht ganz stimmt, ich weiß aber nicht wieso.

supporter aktiv_icon

13:12 Uhr, 18.01.2020

Du musst den Wert von 1 abziehen. Du hast berechnet:

P (X = 0) = {(\frac{31}{45})}^{3}

Gesucht ist aber:

P (X \geq 1)

.
Es gilt:

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)

- \to 1 - {(\frac{31}{45})}^{3} = . .

kleinmariee aktiv_icon

17:37 Uhr, 18.01.2020

Okay, aber WARUM?
Das ist der Punkt den ich nicht verstehe.

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17:43 Uhr, 18.01.2020

Weil es so am schnellsten geht.

Du kannst auch rechnen:

P (X \geq 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)

mit

n = 3, p = \frac{14}{45}, k \in {1,2,3}

3-mal mit Bernoulli-Kette rechnen. Nicht sehr angenehm, oder?

kleinmariee aktiv_icon

17:48 Uhr, 18.01.2020

Irgendwie wurde gerade mein Text nicht komplett angezeigt, ich hatte noch gefragt:

Wir nehmen das Gegenereignis, dann haben wir keine gleichfarbigen Kugeln, aber warum, müssen wir nochmal

1 - . .

. rechnen? Ich verstehe, das voll rein “logischen“ nicht. Es ist wahrscheinlich logisch, doch ich sehe den Zusammenhang nicht.

Könnten sie mir das bitte nochmal erklären?

Wenn wir mindestens 2 Mal zwei gleichfarbige Kugeln ziehen müssten, würden wir dann

2 - {(\frac{31}{45})}^{3}

nehmen?

HAL9000

18:28 Uhr, 18.01.2020

> würden wir dann

2 - {(\frac{31}{45})}^{3}

nehmen?

Da kommt ein Wert >1 heraus, und das für eine Wahrscheinlichkeit. Da sollte einem eigentlich schon der GMV sagen, dass das nicht stimmen kann.

kleinmariee aktiv_icon

18:39 Uhr, 18.01.2020

Ja okay ich hatte das nicht berechnet, bitte trotzdem erklären warum

1 - . .

. , und bitte vielleicht anderes erklären

Roman-22

21:11 Uhr, 18.01.2020

Ich denke, dass wenn wir beide vom "Gegenereignis" sprechen, wir Unterschiedliches meinen.

Da gibt es zum einen das Ziehen der beiden Kugeln.
Für das Ereignis "die Kugeln haben verschiedene Farben" ist die WKT

1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}

.

In der zweiten Frage geht es aber um ganz andere Ereignisse. Es wird dreimal gezogen und es ist nach der WKT für das Ereignis gefragt, dass man "mindestens einmal gleichfarbige Kugeln" gezogen hat.
Von diesem Ereignis betrachten wir nun das Gegenereignis (das ist sehr oft sinnvoll, wenn "mindestens" im Spiel ist.

Das Gegenereignis zu "mindestens einmal gleichfarbige Kugeln" ist "nie gleichfarbige Kugeln" oder anders ausgedrückt "dreimal verschiedenfarbige Kugeln".
und für dieses Gegenereignis berechnen wir die WKT mit

{(\frac{31}{45})}^{3},

da ja bei jeder der drei Ziehungen das Ereignis "verschiedenfarbieg Kugel" eintreten muss.

Diese

{(\frac{31}{45})}^{3}

sind nun aber die WKT für das Gegenereignis dessen, was gefragt ist.
Die WKT dafür, dass mindestens einmal gleichfarbige Kugel auftreten ist daher die Ergänzung auf

1 (= 100 %),

also

1 - {(\frac{31}{45})}^{3} \approx 67,3 %

Und falls dir tatsächlich nicht klar sein sollte, warum

1 - . .

. und nicht

0,8 - . .

. oder

1,4 - . .

.
Die WKT für ein Ereignis und dessen Gegenereignis ergänzen sich immer auf

100 % = 1

.
Wenn also zB die WKT, dass du die nächste Klausur positiv schreibst

0,8 = 80 %

ist, dann ist die WKT, dass du die Klausur versemmelst

1 - 0,8 = 0,2 = 20 %

>

Wenn wir mindestens 2 Mal zwei gleichfarbige Kugeln ziehen müssten, würden wir dann 2−(3145)3 nehmen?
Natürlich nicht.

Wenn nach mindestens zweimal gleichfarbig bei drei Durchgängen gefragt ist, müsstest du die WKT für GENAU zweimal und für GENAU dreimal berechnen und dann die beiden addieren.
Hier bringt das Gegenereignis keinen rechentechnischen Vorteil, denn es wäre "höchstens einmal gleichfarbig" und da müsstest du einmal die WKT für "GENAU einmal gleichfarbig" und dann noch die WKT für "nie gleichfarbig" berechnen, addieren und dann noch von 1 abziehen.

anonymous

08:18 Uhr, 19.01.2020

Und dabei wär's so einfach gewesen:

a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = \frac{14}{45}

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = 1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}

(Begründung: Das ist das Gegenereignis / die Gegenwahrscheinlichkeit zu

a))

c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = (\frac{31}{45}) \cdot (\frac{31}{45}) = {(\frac{31}{45})}^{2}

(Begründung: Na ja, du musst eben

>

im ersten

>

und im zweiten Durchgang
Kugeln unterschiedlicher Farbe ziehen.)

d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, drei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = (\frac{31}{45}) \cdot (\frac{31}{45}) \cdot (\frac{31}{45}) = {(\frac{31}{45})}^{3}

(Begründung: Na ja, du musst eben

>

im ersten

>

im zweiten

>

und im dritten Durchgang
Kugeln unterschiedlicher Farbe ziehen.)

e)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in drei Durchgängen mindestens einmal zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, in drei Durchgängen mindestens einmal zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = 1 - {(\frac{31}{45})}^{3}

(Begründung: Das ist das Gegenereignis zur eben erwähnten Situation

d),

also die Gegenwahrscheinlichkeit zur Wahrscheinlichkeit dort.)

kleinmariee aktiv_icon

11:55 Uhr, 19.01.2020

Okay erstmal vielen Dank.

„Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, drei mal hintereinander zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen, beträgt:

p = (\frac{31}{45}) \cdot (\frac{31}{45}) \cdot (\frac{31}{45}) = {(\frac{31}{45})}^{3}

(Begründung: Na ja, du musst eben

>

im ersten

>

im zweiten

>

und im dritten Durchgang
Kugeln unterschiedlicher Farbe ziehen.)

e)

p = 1 - {(\frac{31}{45})}^{3}

(Begründung: Das ist das Gegenereignis zur eben erwähnten Situation

d),

also die Gegenwahrscheinlichkeit zur Wahrscheinlichkeit dort)“

Habe ich soweit verstanden, aber was ich irgendwie noch nicht in meinen Kopf bekomme:
Warum heisst

> 1 - {(\frac{31}{45})}^{3} <

dann das es „mind. einmal zwei Kugeln ....“ sind. wäre es nicht theoretisch: drei Mal Kugeln gleicher Farbe ziehen?

Ach man ‘trauriger Emoji‘ . Es macht wirklich Sinn was sie mir beide schreiben, aber trotzdem fehlt da irgendwie noch eine Kleinigkeit, um zu verstehen warum

1 - {(\frac{31}{45})}^{3}

„mind. ....“ bedeutet. Aber danke für Ihre Hilfe!

anonymous

13:17 Uhr, 19.01.2020

Na ja, eigentlich ist das ganz einfach:
Wenn man nicht dreimal verschiedenfarbige Kugeln zieht, dann muss man wohl irgend wann mal gleichfarbige Kugeln gezogen haben...

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