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Eliminationsverfahren Fourier-Motzkin

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Sonstiges

Tags: Lineare Optimierung

Lana89 aktiv_icon

11:19 Uhr, 05.06.2016

Hallo,

die Aufgabenstellung ist folgend:

Löse das folgende Maximierungsproblem mithilfe Fourier-Motzkin:
max

{

c^Tx : Ax<=b}, wobei

c = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}), A = (\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 6 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix})

und

b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix})

.

Finde dazu die Lösung

(x, λ), λ

<=c^Tx und wähle

λ

maximal.

Wir bekommen also:

(\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 2 \\ λ \end{matrix}) \leq (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

.

Ich habe nun Schwierigkeiten

x 2

(also die 2. Spalte der Matrix) zu eliminieren, da ich keine

- 1

als Eintrag da habe.

Kann mir jemand einen Hinweis geben, wie ich fortzsetzen kann?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

NilleBro aktiv_icon

20:11 Uhr, 06.06.2016

Hallo Lana,

wo ist das Problem? Einfach mit einer negativen Zahl multiplizieren (Gauß-Regeln für lineare Umformungen anwenden)

Für

λ

müsste kleiner gleich

\frac{4}{3}

rauskommen.

Falls du schon genauso weit bist, weißt du ob man noch die x-Werte bestimmen muss?

Lana89 aktiv_icon

20:59 Uhr, 06.06.2016

Hallo NilleBro,

genau das darf man im Fourier-Motzkin Algo nicht machen. Wie haben hier Ungleichungen und Multiplikation mit der negativen Zahl dreht die Ungleichung um. Ich habe jetzt einfach die Spalte ausgelassen und die nächste eliminiert. Am Ende kommt bei mir auch

λ = \frac{4}{3}

raus.

Meiner Meinung nach muss man

x

nicht bestimmen, aber meine Kommilitonen waren heute anderer Meinung...

Gruß

NilleBro aktiv_icon

21:53 Uhr, 06.06.2016

Du hast Recht. Bzw. kommt

λ

größer gleich

\frac{4}{3}

raus, in Abhängigkeit davon, wie man

x 3

wählt. Ist

x 3 = \frac{1}{3},

so ist

λ \frac{4}{3}

. Je kleiner

x 3

wird, desto größer ist kann

Λ

maximal werden oder?

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