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Ellipsen Halbachsen aus Teilstück berechnen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Ellipse, Körper

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14:41 Uhr, 06.05.2017

Hallo,

Ich habe mittels eines Experimentes die Radien von fünf punkten auf einer Ellipse ermitteln können. An was ich nun interessiert bin, ist ob ich aus dem Teilstück die Halbachsen der Ellipse berechnen kann?

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

rundblick aktiv_icon

15:00 Uhr, 06.05.2017

.
" .. die Radien von fünf punkten auf einer Ellipse "

lustig?

\to

nur : Punkte auf einer Ellipse haben keine "Radien" ??!

\to!

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15:07 Uhr, 06.05.2017

Entschuldige, wenn ich mich falsch ausgedrückt habe. Ich habe die Position

(x, y)

der Punkte.

rundblick aktiv_icon

15:27 Uhr, 06.05.2017

.
hm..
wenn du die Koordinaten von irgendwelchen 5 Punkten hast, dann ist es - ohne
weitere Information - waaghalsig, zu vermuten, dass diese Punkte auf die
Idee kommen, alle ausgerechnet auf irgend einer bestimmten Ellipse herumzuliegen..

?

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15:39 Uhr, 06.05.2017

Ich weiss, dass der Ausschnitt auf einer Ellipse liegt, kenne aber nicht deren Dimension, ausser diese Punkte, die ich bestimmen konnte.

rundblick aktiv_icon

15:48 Uhr, 06.05.2017

.
"Ellipse liegt, kenne aber nicht deren Dimension"

was genau meinst du mit "Dimension" ?

\to .

.
.

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16:15 Uhr, 06.05.2017

Ich würde gerne die Halbachsen ermitteln. Ich bin kein Mathematiker und drücke mich mit Sicherheit nicht hunderprozentig richtig aus. Was ich gerne wissen würde ist, ob es möglich ist, dass ich aus diesem Teilstück irgendwie die Halbachsen der Ellipse berechnen kann? Kennst du eine Möglichkeit?
Danke dir schonmal für deine Hilfe.

rundblick aktiv_icon

16:33 Uhr, 06.05.2017

hm...
es gibt diverse Varianten..

\to

wenn du zB weisst, dass die Symmetrieachsen der Ellipse parallel zu den
Koordinatenachsen liegen, dann ist eine solche Ellipse zB festgelegt,
wenn du den Mittelpunkt

M (x_{M}; y_{M})

und die Halbachsenparameter a und

b

findest

\to

in diesem Fall

\to \frac{{(x - x_{M})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - y_{M})}^{2}}{b^{2}} = 1

benötigst du vier Punkte um die vier Parameter zu ermitteln..(also keine

5)

\to

da du 5 Punkte hast, könnte es sein, dass deine Ellipse - falls es eine
passende überhaupt geben wird - noch aus der erwähnten Parallellage gedreht ist
usw..

.

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16:52 Uhr, 06.05.2017

Danke dir! Ich habe jetzt festgelegt, dass der Mittelpunkt in

(0,0)

liegt, somit würde sich aus der gleichung ergeben:

\frac{{(x 1)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y 1)}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(x 2)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y 2)}^{2}}{b^{2}}

wenn ich das jetzt nach

a^{2}

umstelle und dann einsetze, sollte es möglich sein

b

auszurechnen? Oder bin ich da auf dem falschen Weg? Ich weiss nicht so ganz wie ich die anderen Punkte einsetzen soll. Ich würde für

x 1, y 1

den ersten Punkt und für

x 2, y 2

den letzten Punkt nehmen.

ledum aktiv_icon

19:33 Uhr, 06.05.2017

Hallo
um a und

b

zu bestimmen brauchst du 2 Punkte, die setzest du in die Gleichung

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}

ein, dann hast du 2 Gleichungen für

a^{2}

und

b^{2}

das Gleichsetzen der 2 ist ungeschickt,
Damit du sicher bist, solltest du es mit einem dritten deiner Punkte auch noch machen und dasselbe

a, b

bekommen.
weisst du denn ob die Achsen der Ellipse parallel zu den Koordinatenachsen sind?
Gruß ledum

epheser aktiv_icon

19:42 Uhr, 06.05.2017

Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe versucht die Koordinaten in die Gleichungen einzusetzten, komme aber irgendwie nicht wirklich weit, da sich nach allem umstellen meine gesuchte Größe immer rauslöscht. Ich bin mir noch nicht so ganz sicher ob ich es richtig verstanden habe. Wie kann ich eine Gleichung mit zwei Unbekannten und zwei Bekannten Größen lösen, sodass ich beide Unbekannten rausbekomme? Ich habe es mittels Substitution versucht, aber wie gesagt, bei mir löscht sich am Ende immer die Größe raus, die ich möchte.

ledum aktiv_icon

19:45 Uhr, 06.05.2017

Hallo
gib doch mal 3 deiner Punkte an, dann kann man sich besser unterhalten.
Gruß ledum

epheser aktiv_icon

19:52 Uhr, 06.05.2017

Die Koordinaten sind folgende:

P 1 : x 1 = 7.5, y 1 = 8.43

P 2 : x 2 = 8.0, y 2 = 8.73

P 5 : x 5 = 9.5, y 5 = 9.62

ledum aktiv_icon

21:18 Uhr, 06.05.2017

Hallo
diese Punkte liegen nicht auf einer Ellipse mit Mittelpunkt

(0,0)

und Achsen auf der

x

und

y -

Achse, sonst müssten auch die Punkte

(- 7.5, (. 43

usw darauf liegen.
Also was weisst du von der Ellipse.
mit

G

g

eogebra, einem freien Programm kannst du 5 Punkte eingeben und die Ellipse wird gezeichnet, und du bekommst die Gleichung. schick vielleicht mal alle 5 Punkte, wenn du dir das Programm nicht holen willst.
Gruß ledum

epheser aktiv_icon

21:41 Uhr, 06.05.2017

Vielen lieben Dank! Das ist ein sehr praktisches Programm. Ich versuche mal genauer zu erläutern, wie ich zu diesen Koordinaten komme: Was ich möchte ist die Form eines Organs bestimmen, wenigsten als Näherung. Dazu stehen mir im Moment nur diese vorderen Koordinaten zur Verfügung (ich habe mal ein Bild angehängt). Diese Koordinaten sind aber auch nur Schätzungen aus einer Studie.
Die fünf Koordinaten die ich damit ermitteln kann sind folgende:

x y

7.08.6

7.58.9

8.09.2

8.59.5

9.09.8

Glaubst du es gibt eine Möglichkeit damit auf die Ellipsenachsen zu schliessen?

Roman-22

23:03 Uhr, 06.05.2017

Nun, fünf Punkte bestimmen im allgemeinen immer eindeutig einen Kegelschnitt. Das muss nicht notwendigerweise eine Ellipse sein, es könnte sich auch um eine Parabel oder eine Hyperbel handeln.

Ein Kegelschnitt hat in einem kartesischen Koordinatensystem die allgemeine Gleichung

a \cdot x^{2} + b \cdot x \cdot y + c \cdot y^{2} + d \cdot x + e \cdot y + f = 0

Das sind nun sechs verschiedene Parameter, allerdings können wir die Gleichung nach Belieben beidseits mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren oder dividieren, sodass die Koeffizienten nur bis auf ihr Verhältnis zueinander bestimmt sind.
Es reichen daher fünf Gleichungen zur Bestimmung und diese erhält man, indem man jeden der gegebenen fünf Punkte einsetzt und dann dieses (unterbestimmte) Gleichungssystem löst.

[

Ist man sich aus irgendwelchen Gründen sicher, dass einer der Koeffizienten nicht Null ist, so kann man diesen auf einen beliebigen Wert ungleich Null (zB

1)

setzen und dann das lineare Gleichungssystem in den fünf verbleibenden Unbekannten lösen.

]

Danach müsste man noch eine Hauptachsentransformation durchführen, um die Lage der Ellipse und die Längen ihrer Achsen zu bestimmen.

Alles in Allem recht aufwändig und sicher etwas, das man am günstigsten einem Programm überlässt.

Zu deinen konkreten Punkten:

>

Glaubst du es gibt eine Möglichkeit damit auf die Ellipsenachsen zu schliessen?
Kaum, denn deine fünf Punkte sind kollinear, sie liegen alle fünf äquidistant auf der Geraden

y = \frac{3}{5} \cdot x + \frac{22}{5}

.
Für einen nichtzerfallenden Kegelschnitt dürfen nie irgendwelche drei der fünf Punkte auf einer Geraden liegen.

ledum aktiv_icon

23:09 Uhr, 06.05.2017

Hallo
eben hattest du noch ganz andere Punkte. ? diese neuen liegen praktisch auf einer Geraden, also kann man keine Ellipse damit machen, siehe mein Bild
weisst du denn etwa über die Symmetrie des Organs oder eine beinahe Symmetrie?
Gruß ledum

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