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Endomorphismus

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

pwld117 aktiv_icon

17:46 Uhr, 17.01.2021

Wie kann man Zeigen: für einen allgemeinen Endomorphismus

G \in L (V, V)

gilt

K e r n (G^{j}) \subseteq K e r n (G^{j + 1})

für alle

j \in N_{0}

und es existiert ein

s \in N_{0}

mit

K e r n (G^{s}) = K e r n (G^{s + 1})

. Für dieses gilt

K e r n (G^{s}) = K e r n (G^{s + j})

für alle j ∈ N.

Trotzdem vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 17.01.2021

Sei

x

aus Kern von

G^{j}

. Dann gilt

G^{j} (x) = 0

. Daraus folgt

G^{j + 1} (x) = G (G^{j} (x)) = G (0) = 0

. Also liegt

x

auch in Kern von

G^{j + 1}

. Damit liegt Kern von

G^{j}

im Kern von

G^{j + 1}

.

Wenn wir jetzt Kern von

G^{j}

mit

K_{j}

bezeichnen, folgt

K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq K_{3} \subseteq . . .

. Da wir in einem endlichdimensionalen Raum sind, können schon aus Dimensionsgründen nicht alle diese Inklusionen "strikt" sein, also an einer Stelle muss es

K_{j} = K_{j + 1}

heißen. Dann aber folgt

K_{j + l} = K_{j}

für alle

l > 0

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