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Endomorphismus
Universität / Fachhochschule
Tags: Endomorphismus, Klassifikation
 
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Hallo, es geht um die Klassifikation von Endomorphismen. Ich bin nicht sicher,ob ich das richtig verstanden habe. Also man schaut sie die Äquivalenzklasse ähnlicher Matrizen an und sucht bei geeigneter Basiswahl einen möglichst einfach Repräsentanten einer Klasse. Eine Klasse besteht aus deen Matrizen, deren Rang überinstimmt. Ist das erstmal so richtig? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, so ist das leider nicht richtig :( Du bringst Ähnlichkeit und Äquivalenz von Matrizen durcheinander. Schau dir diese beiden Begriffe noch mal genau an! Gruß ermanus |
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Also 2 Matrizen A und sind ähnlich, wenn es invertierbare Matritzen gibt, sodass gilt: Das ist doch eine Äquivalenzrelation. Die Frage ist, dann eine möglichst einfache Getalt für die Matrix A zu finden bei entsprechnder Basiswahl oder? Edit:es müssen die gleichen Matrizen sein. |
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Nein. 2 Matrizen und sind ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix gibt mit . Das, was du beschreibst, ist Äquivalenz von Matrizen. Sowohl Äquivalenz als auch Ähnlichkeit sind Äquivalenzrelationen. |
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Ja ich habe es noch geändert. Sorry:( Aber was bedeutet dann genau Klassifikation in diesem Zusammenhang? |
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Zwei Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie vom selben Typ (also Anzahl Zeilen ist gleich und Anzahl Spalten ist gleich) sind und denselben Rang besitzen. Zwei Matrizen z.B. über sind ähnlich, wenn sie die gleiche Jordansche Normalform haben (bis auf die Reihenfolge der Jordankästchen). Sind 2 Matrizen ähnlich, so sind sie auch äquivalent, aber im Allgemeinen nicht umgekehrt, z.B. sind die -Matrizen und äquivalent, aber nicht ähnlich, da ihre Eigenwerte nicht gleich sind. |
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Speziell im Zusammenhang mit Endomorphismen verstehe ich unter Klassifikation die Klassifikation nach Ähnlichkeit. Die Klassifikation nach Äquivalenz, also nach gleichem Rang bei gleichem Typ ist doch recht "unspannend". |
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Aso ist das. Aber was ist denn das Problem dabei und die Zielsetzung. Also in der Übung wurde gesagt, dass man sich einen möglichst einfach Repräsentanten aus einer Äquvialenzklasse der ähnlichen Matrizen aussucht, um Endomorphismen möglichst einfach zu beschreiben? |
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Das wurde in der Übung ganz richtig so gesagt. Stell dir vor, du möchtest zwei -Matrizen und auf Ähnlichkeit überprüfen, d.h. du möchtest wissen, ob sie bei je geeigneter Wahl einer Basis des 2-dimensionalen Vektorraumes denselben Endomorphismus beschreiben. Dann kannst du als Erstes untersuchen, ob und dieselben Eigenwerte haben. Sind diese verschieden, so sind die Matrizen nicht ähnlich, gehören also zu verschiedenen Endomorphismen. Sind sie gleich, so könnten und dennoch nicht-ähnlich sein, z.B. dann, wenn die Minimalpolynome verschieden sind, obwohl ja die charakteristischen Polynome übereinstimmen. Es wäre daher sehr praktisch, wenn man eine Matrix in eine besonders "einfache Normalform" per Transformationsmatrix überführen könnte, so dass ähnliche Matrizen gleiche Normalform haben und nicht-ähnliche Matrizen verschiedene Normalformen liefern. Man sucht also in jeder Ähnlichkeitsklasse nach einem "einfachen" Repräsentanten, so dass verschiedene Repräsentanten verschiedene Klassen repräsentieren. |
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Jetzt wird es klarer. Besteht dann eine Äquivalenzklasse aus den Matrizen die das gleiche Minimalpolynom haben, die andere aus denen die gleiche Eigenwerte haben? |
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Die Gleichheit des Minimalpolynoms reicht leider nicht aus. Die folgenden beiden Matrizen haben das gleiche Minimalpolynom: . Sie sind aber nicht ähnlich, da ihre Eigenräume zum Eigenwert 1 verschiedene Dimension haben. |
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Aso, gleiches Minimalpoylnom, Spur, EW, charakteristisches Polynom , Determiante,... sind keine vollständigen Invarianten Größen. Diese zusammen würden dann doch eine Klasse bilden. Eine andere Klasse wären doch die Elementarteiler der charakteristischen Matrix, denn die Elemenatarteiler sind vollständig invariant. doch dann auch, dass die JNF, wenn sie existiert eine solche ist, bzw. die allgemeine NF? |
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Die Klassen, die man aufgrund der gleichzeitigen Gleichheit von Minimalpolynom, charakteristischem Polynom, Spur, Eigenwerten, und Determinante bilden kann, liefern eine gröbere Klasseneinteilung als die Ählichkeit; denn meine beiden Matrizen und stimmen in all diesen Invarianten überein. Eine vollständige Invarante wären hingegen - wie du richtig schreibst - die Elementarteiler der charakteristischen Matrix bzw. über algebraisch abgeschlossenen Körpern die Jordansche Normalform. |
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Aber könnte man nicht diese Größen, wie EW, Minimalpoylnom in eine Klasse zusammenfassen, denn die Matrizen müssen ja nicht ähnlich sein, wenn nur nur die EW gleich sind. Invariant heißt ja in diesem Fall: Wenn Matrizen ähnlich sind, dann stimmen sie in den genannten Dingen überein. Vollständig invariant macht dann aus dieser Implikation eine genau dann wenn Aussage. Ich hoffe das habe ich richtig verstanden. |
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Du meinst vermutlich "Aber könnte man nicht die Matrizen, die z.B. in EW (oder in EW und Minimalpolynom oder ...) übereinstimmen, je in eine Klasse zusammenfassen ...". Genau das habe ich doch in meinem vorigen Beitrag geschrieben. Man erhält denn "gröbere" = "größere" Klassen, die jeweils mehrere Ähnlichkeitsklassen umfassen. Das mit der vollständigen Invarianz hast du richtig verstanden :-) |
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Aso gut. Aber wie ist denn die "normale Einteilung". Man fasst dann alle invarianten Eigenschaften in einer Klasse zusammen? |
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Das kann man natürlich machen. Nun ist es "zum Glück" aber so, dass aus der Gleichheit der Elementarteiler der charakteristischen Matrix bzw. aus der Gleichheit der Jordanschen Normalform bereits die Ähnlichkeit der Matrizen folgt, also erst recht die Gleichheit aller anderen Invarianten automatisch erfüllt ist. Daher benötigt man nur das Elementarteilergedöns oder die Jordansche Normalform. Auf die allgemeine Normalform gehe ich hier nicht näher ein, da die mich peinlicherweise nie interessiert hat ;-) |
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Danke:-) Wir haben die allgemeine NF nur eingeführt, weil diese ja immer exisitert, unabhängig vom Körper. Das wäre eine Blockdiagonalmatrix, wobei, die einzelnen Blöcke Begleitmatrizen der jeweiligen Primfakktorzerlegung der Elementarteiler der charakteristischen Matrix sind. Ich denke so war das :-) es gibt 2 Arten lineare Abbildungen zu charakterisieren: Wenn ich 2 Vektoräume habe mit Dann betrachte ich die Äquivalenz von Matrizen, die Existenz von Gl(n, Gl(m,K) mit als Äquivalenzrelation. Dort gibt es immer einen einfachen Repräsentanten, denn man kan jeweils die Basis in so wählenn, dass man als Abbildungsmatrix eine Blockmatrix mit oberen Block und sonst 0 erhält. Im Fall für also im Fall von Endomorphismen betrachtet man die Ähnlichkeit von Matrizen: Dort gewinnt man dann mit den Elementarteilern eine vollstädnige Invariante Größe, die es erlaubt, einen Endomorphismus A bzgl der allgemeinen NF oder der JNF, wenn diese existiert( über ja immer) zu beschreiben. |
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Das hast du schön geschrieben :-) |
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Sehr gut:-) Danke:-) Ich habe noch eine Frage. Was bringen wir dann egtl beispielsweise die EW. Ich kann ja die EW einer Matrix A berechnen. Wenn diese symmetrisch ist, also einen selbstadjungierten Endo. beschreibt, dann ex. nach dem Spektralsatz eine ONB aus Eigenvektoren und invertierbare Matrizn, B=Diag( also EW auf den Diagonalen. Dann bekomme ich in diesem Fall ja eine einfache Matrix, die einen selbstadjungierten Endo bezgl der Basis aus EV beschreibt. Wie passt das in meine Klassifikation? |
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Die Diagonalmatrix, die du bekommst, ist gerade die Jordansche Normalform. Interessanter bzw. schwieriger sind die nicht diagonalisierbaren Endomorphismen (Matrizen). |
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Aber dann wären ja die Matrizen ähnlich, ohne das man überpüft ob die anderen Größen gleich sind oder? |
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Zwei symmetrische Matrizen sind ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte (gezählt mit Vielfachheit) besitzen. |
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ich kann meine Ähnlichkeitsklassen unterteilen, zb. in die Klasse der symmetrischen Matrizen, die dann die gleichen EW haben und kann dann somit jeden selbstadjunigerten Endo mit einer Diagonalmatrix beschreiben bzgl der Basis aus EV. |
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Ja. Es gibt eine Menge von Ähnlichkeitsklassen, die genau von den diagonalisierbaren Matrizen gebildet wird, das ist die Menge derjenigen Klassen, deren Jordanscher Normalformen-Repräsentant Diagonalgestalt hat. |
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Aso. Die Diagonalmatrix hier ist ja ein Spezialfall der JNF, da man bei selbstadjungierten Endo immer einen Zerfall des charakterisitschen Polynoms hat. Das könnte man ja so begründen: Im unitären Fall ist die Darstellungsmatrix hermitesch und das charakteristische Polynom zerfällt ja über als algebraisch abgeschlossenen Körper in Linearfaktoren. Der Spezialfall im Reellen mit einer symmetrischen Matrix ergibt die gleiche Eigenschaften, denn eine symmetrische Matrix ist ja insbesondere hermitesch. in diesem Fall sind die EW eine vollstädnig invariante Größe oder? |
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Ja, da hast du Recht. Bedenke aber, dass im nichtsymmetrischen/nichthermiteschen Fall das charakteristische Polynom (z.B. über ) immer in Linearfaktoren zerfällt. Dies alleine kann also im Allgemeinen kein Kriterium für Diagonalisierbarkeit sein, wie du an meinen Matrizen und sehen kannst. Wenn aber das Minimalpolynom nur sämtlich verschiedene Linearfaktoren hat, dann ist die Matrix diagonalisierbar, da man in diesem Falle eine diagonale JNF erhält. |
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nur in diesem Fall bekomme ich immer eine "schöne Diagonalgestalt". Wenn ich aber die Klassen wieder gröber fasse, sind die EW keine vollständig invariante Größe mehr. Das bedeutet doch aber, dass mir EW, charakteristisches Polynom usw. nicht helfen, eine ähnliche Matrix zu finden, sondern sie helgen eglt eher dabei zu widerlegen, dass eine Matrix nicht zu einer anderen ähnlich ist. Das einzige, was dann sinvoll ist, sind die Elementarteiler. Dort bekomme ich immer eine mehr oder weniger schöne Diagonalform. Sei es durch die allgemeine oder die Jordansche oder? |
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Ja, so hast du das "Problem" gut zusammengefasst. In vielen Fällen wird man mit der JNF arbeiten, da der Grundkörper häufig ist. Manche Universitäten (z.B. Fernuni Hagen) lehren gar nicht die allgemeine NF oder die Elementarteilergeschichte. Um die JNF kommt man aber nirgendwo herum, zumindest seit ca. 1950. |
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Ja leider müssen wir das können in der mdl Prüfung. Wir haben das Thema leider erst letzte Woche richtig behandelt. Die Prüfung ist schon am Freitag:( Naja. Ich habe noch eine Frage zur Singatur. Diese ist ja auch eine invariante Größe im Fall hermitescher oder symmetrischer Matrizen. Haben nicht diese Matrizen immer die gleichen EW und damit auch die gleiche Signatur? |
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Wenn sie die gleichen Eigenwerte haben, dann haben sie die gleiche Signatur. Wenn sie die gleiche Signatur haben, dann stimmen die Eigenwerte bzgl. ihres Vorzeichens oder Nullseins überein. Sie müssen aber nicht gleich sein, d.h. die Matrizen müssen nicht ähnlich sein. Z.B. haben die beiden -Matrizen und beide die Signatur (1,0,0), da in beiden Fällen die Eigenwerte und dasselbe +-Vorzeichen haben. Sie sind jedoch nicht ähnlich, wohl aber kongruent. |
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Dein Beispiel ist toll:-) Daran sieht man alles sofort:-) Aber ich verstehe nicht genau, wie die Signatur mit dem Spektralsatz zusammenhängt? |
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Der Spektralsatz für hermitesche oder symmetrische Matrizen liefert dir für jede solche Matrix eine ähnliche (und gleichzeitig kongruente) Normalform in Gestalt einer Diagonalmatrix mit den EW's auf der Diagonale. Diese ist zugleich die zugehörige JNF. Die Signatur ergibt sich als Tripel aus der Anzahl der positoven, der Anzahl der negativen und der Anzahl der nullwertigen Elemente (Eigenwerte) auf der Diagonalen. P.S.: Hast du schon mal konkret die Elementarteiler einer charakteristischen Matrix berechnet? Hier würden sich meine beiden Matrizen und als Übungsaufgaben anbieten ;-) |
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Du hast geschrieben, dass es die Möglichkeit gibt, dass 2 Matrizen die gleichen Signaturen haben, aber unterschiedliche EW. Was kann ich mit der Signatur dann als invariante Größe anfangen? Deine Matrizen haben doch die gleichen Elementarteiler. Jeweils 4 mal ? |
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Die Signatur ist in ihrer Eigenschaft als Klassifikator für das Ähnlichkeitsproblem uninteressant. Sie spielt aber eine große Rolle bei der Frage nach Positivdefinitheit, Negativdefinitheit, Indefinitheit etc. z.B. in der Analysis bei der Suche nach Extremwerten (Hessematrix). Ferner legt die Signatur fest, um welches geometrische Gebilde es sich handelt bei Flächen, die durch quadratische Formen als Nullstellenmengen auftauchen. Zum Beispiel liefert einen Kreis . Sigantur ist . Die Menge ergibt eine Hyperbel . Signatur ist . Hier geht es also u.a. um die Klassifikation von Flächen, die man Quadriken nennt. Das ist wichtig auch z.B. für Physiker und ähnliche Leute. Zu den Elementarteilern. Da irrst du dich, glaube ich. Ich werde sie mal in der nächsten halben Stunde berechnen und schauen, was ich dabei herausbekomme. Die können ja eigentlich nicht gleich sein; denn und sind JNF's und zwar verschiedene JNF's, so dass die und , wie bereits gesagt, nicht ähnlich sein können! |
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Ja stimmt. In der Analysis habe ich ja das schon gemacht Ich habe nur gedacht, es gibt vllt noch etwas besonderes in Bezug auf die Ähnlichkeit bei bei meinem Klassifikationsporblem:-) Bei den Matrizen berechne ich doch einfach die Matrix und dann die Smith- NF. Vllt muss ich nochmal schauen. |
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So, ich war nochmal fleißig: Die Elementarteiler von sind , die von sind . |
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Danke dir:-) Du bist immer fleißig, nicht nur jetzt. Ich weis auch, was ich jetzt bei mir falsch gemacht habe:( Ich muss mich wirklich bedanken, dass du mir immer hilfst:-) Ich wünsche dir eine gute Nacht. |
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