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Endomorphismus, Eigenwert, Polynom

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

 
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samuel1357

samuel1357 aktiv_icon

20:35 Uhr, 03.05.2021

Antworten
Hallo zusammen,

ich bearbeite folgende Aufgabe:
Ist p(x) in K[x] ein Polynom, phi ein Endomorphismus von V,
so ist p(phi) wieder ein Endomorphismus von V und für jeden Eigenwert a von phi ist p(a) Eigenwert von phi.

Mein Ansatz:
p(phi) Endomorphismus
Für alle v, u in V und a, b in K gilt
p(phi(av+bu))=p(a*phi(v)+b*phi(u))
Jetzt weiß ich jedoch nicht, wie ich das Ganze weiter vereinfachen kann..

p(a) Eigenwert von phi
p(phi(v))=p(phi*v)=p(av)..?

Vielen Dank für eure Hilfe


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:11 Uhr, 03.05.2021

Antworten
Wenn p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, dann p(φ)=anφn+an-1φn-1+...+a1φ+a0I. Also reicht es zu zeigen, dass φk für jedes k ein Endomorphismus ist. Und da φk(v)=φ(φ(φ(....(v)) ist (k mal hintereinander), ist es auch einfach zu zeigen.

Für den Eigenwert musst du zuerst zeigen, dass φk(v)=φ(φ(φ(....(v))=λkv, falls v ein Eingenvektor ist. Das geht direkt. Der Rest ist auch einfach.
Frage beantwortet
samuel1357

samuel1357 aktiv_icon

08:24 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Danke für deine Hilfe! Es hat alles geklappt