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Endomorphismus, Kern, Bild,Invarianz,direkte Summe

Universität / Fachhochschule

Tags: Endomorphismus, Invarianz

anonymous

12:03 Uhr, 14.05.2010

Hallo

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

V

endl. dim. K-Vektorraum und

φ : V \to V

Endomorphismus.

Ich soll zeigen:

a)

dass eine kleinste natürliche Zahl

d

existiert, für die für alle

j \in ℕ

gilt: Bild

φ^{d + 1} =

Bild

φ^{d}

und Kern

φ^{d + 1}

=Kern

φ^{d}

b) V =

Bild

φ^{d} \oplus

Kern

φ^{d}

c)

Bild

φ^{d}

und Kern

φ^{d}

invariant gegenüber

φ

Danke im Vorraus!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

12:26 Uhr, 14.05.2010

Setze

U_{n} =

Bild

φ^{n}

(insb.

U_{0} = V)

.
Dann gilt stets

U_{n + 1} \subseteq U_{n},

denn wenn

v \in U_{n + 1},

gibt es ein

x

V

mit

φ^{n + 1} (x) = v

. Aber dann ist

φ^{n} (φ x) = v

und folglich

v \in U_{n}

.
Die Folge der

dim U_{n}

ist eine (ncht notwendig streng) monoton fallende Folge natürlicher Zahlen, wird also irgendwann stationär.
Falls aber

dim U_{d} = dim U_{d + 1},

so wegen

U_{d + 1} \subseteq U_{d}

sogar

U_{d + 1} = U_{d}

.
Dann aber ist

φ

ein Automorphimsu von

U_{d},

folglich ergibt sich

U_{n} = U_{d}

für alle

n > d

anonymous

12:14 Uhr, 15.05.2010

Danke erstmal für deine Hilfe, aber ich verstehe es noch nicht ganz.
Was bedeutet ein Folge wird stationär???
Was ist jetzt

U_{n}

und was

U_{d}

hagman aktiv_icon

13:20 Uhr, 15.05.2010

Stationär heiße eine Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ},

wenn alle bis auf endlich viele Folgenglieder gleich sind.
Die AUfgabe besteht

u . a

. darin, zu zeigen, dass die Folge von Unterräumen

{(B i l d φ^{n})}_{n \in ℕ}

stationär ist. Folgern kann man dies daraus, dass jede (schwach) monoton fallende Folge natürlicher Zahlen stationär ist:
Zu einer Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

natürlicher Zahlen betrachte die Menge

{a_{n} | n \in ℕ} \subset ℕ

.
Als nichtleere Menge natürlicher Zahlen, enthält diese ein kleinstes EElement,

d . h

. es gibt ein

d \in ℕ

mit

a_{n} \geq a_{d}

für alle

n \in ℕ

. Wenn die Folge obendrein schwach monoton fäält, folgt auch

a_{n} \leq a_{d}

für alle

n \geq d,

also insgesamt

a_{n} = a_{d}

für alle

n \geq d

anonymous

14:26 Uhr, 16.05.2010

Gibt es vielleicht noch eine andere Lösung, vielleicht mit hilfe der Jordannormalform??
Wir hatten weder stationär in Lineare Algebra noch in Analysis, ich weiß nicht ob wir das dann überhaupt benutzen dürfen.

hagman aktiv_icon

14:56 Uhr, 16.05.2010

JNF? Man schießt nicht mit Kanonen auf Spatzen. Zumal du für die JNF ein algebraisch abgeschlossenes

K

bräuchtest.
Du darfst das Wort stationär gerne streichen, aber die Tatsache, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element enthält, werdet ihr gewiss benutzen dürfen.

Oder mach es doch ganz explizit:
Setze

n := dim V = dim B i l d φ^{0}

.
Angenommen, es gilt stets

B i l d φ^{k + 1} \neq B i l d φ^{k}

.
Wegen

B i l d φ^{k + 1} \subseteq B i l d φ^{k}

folgt

dim B i l d φ^{k + 1} \leq dim B i l d φ^{k} - 1

.
Mit dem Induktionsanfang

dim B i l d φ^{0} \leq n - 0

zeigt man hieraus

dim B i l d φ^{k} \leq n - k

.
Folglich

dim B i l d φ^{n + 1} \leq - 1,

was absurd ist.

anonymous

10:45 Uhr, 17.05.2010

Kann ich das für den Kern dann analog machen und wie mache ich b?

anonymous

12:11 Uhr, 17.05.2010

ok,

b

und

c

habe ich hingekriegt.
Das mit dem Bild in a habe ich auch verstanden. Danke!
Aber ich kriege das bei a nicht mit dem Kern hin, kannst du mir da auch helfen???

anonymous

21:01 Uhr, 17.05.2010

Kann denn keiner helfen?????

hagman aktiv_icon

16:50 Uhr, 18.05.2010

Gäbe es ein

v \in k e r φ^{d + 1} \ k e r φ^{d},

so wäre

φ^{d} v \in B i l d φ^{d} \cap k e r φ

anonymous

20:34 Uhr, 18.05.2010

Danke!

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