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Endomorphismus Nullteiler im Endomorphismenring
Universität / Fachhochschule
Tags: Endomorphismus, Nullteiler
 
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Sei endlich-dimensional, aber nicht 0-dimensional. Zeige, dass ein Endomorphismus genau dann ein Nullteiler im Endomorphismenring von ist, wenn sein Rang echt kleiner als die Dimension von ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wenn Rang(f)=n, dann ist f invertierbar, deshalb gilt Rang (fg)=Rang (g), woraus folgt, dass f kein Nullteiler sein kann (sonst wäre fg=0 mit => Rang(g)=0=>g=0 => Widerspruch). Wenn Rang(f)<n, dann kann man konstruieren, so dass fg=0. |
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Habe dann für die Sei ein Nullteiler des Endomorphismenrings in V. Dann existiert ein mit so dass fg=0. Angenommen rang(f). Dann folgt, daraus das invertierbar ist.(Bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke das die Invertierbarkeit von daraus folgt, dass bijektiv ist. (Denn ker Im(f) und rang(f)= dim Im(f). Daher ist ker und (Im . Also bijektiv.)) Aus der Invertierbarkeit von folgt, dann das rang(fg)=rang(g) gilt. Da ein Nullteiler ist, gilt fg=0 und somit rang(fg) = rang(0) rang(g). Daraus folgt, dass ist, was ein Widerspruch zur Annahme, dass Nullteiler ist, wäre. Somit muss entweder kein Nullteiler sein oder rang(f)!= und somit rang(f)< . Wäre das so richtig? |
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"Somit muss entweder f kein Nullteiler sein oder rang(f)!= dimV" Diese Schlussfolgerung ist falsch. Gezeigt wurde nur eine Richtung: => kein Nullteiler. Die andere Richtung muss noch gezeigt werden. |
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Ok. Also habe ich nur bewiesen, dass aus ist ein Nullteiler rang(f) . Wie beweise ich, dann das aus rang(f) ist ein Nullteiler folgt. Ich weiß, dass aus rang(f) folgt, dass weder injektiv noch surjektiv ist. Aber komme ich davon , darauf das ein Nullteiler ist. |
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Wie gesagt, durch eine passende Konstruktion von einem , so dass . Kuck hier: http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=193670&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F |
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Könnte man , die beiden Richtungen auch mit Hilfe von Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus beweisen? |
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Nicht jeder Endomorphismus ist diagonalisierbar, daher nein. |
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Alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe. |
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