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Endomorphismus & Untervektorraum Beweise

Universität / Fachhochschule

11:27 Uhr, 19.11.2014

Sei

f : V \to V

ein Endomorphismus eines Vektorraums

V

1 -

Man zeige dass die Teilmenge Vf=

{

v Element in

V | f (v) = v}

der Fixpunkte von

f

ein Untervektorraum von

V

ist

2 -

Sei

f

idempotent

(d . h

f^{2} = f)

. Man zeige, dass gilt V=Vf

+

ker

f

Also bei 2 muss ich irgendwie beweisen
1. Der Schnitt der Fixpunktmenge mit ker

f = {0}

V =

Fixpunktmenge

+

ker

f

Bei 1 hab ich noch nicht wirklich einen guten Plan

11:37 Uhr, 19.11.2014

Es geht doch alles absolut direkt.

1.

a, b

- Zahlen,

v, w \in V_{f}

f (v) = v

und

f (w) = w

f (a v + b w) = a f (v) + b f (w)

, weil

f

lineare Abbildung ist, weiter

a f (v) + b f (w) = a v + b w

und insgesamt

f (a v + b w) = a v + b w

a v + b w \in V_{f}

nach Definition von

V_{f}

.
Damit ist

V_{f}

ein Untervektorraum.

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