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Endomorphismus, f-invarianter Unterraum, ???
Universität / Fachhochschule
Tags: Abbildungsmatrix, basis, Einbettungshomomorphismus, Endomorphismus, invarianter Unterraum
 
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Hallo!
Ich beschäftige mich mit folgenden Aufgaben und komme nicht weiter.. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen: Es sei K ein Körper, V ein endl. dimensionaler K-Vektorraum und ein Endomorphismus. Ein Unterraum heißt f-invariant, wenn gilt. (a) Sei W ein f-invarianter Unterraum von V und der Einbettungshomomorphismus. Zeigen Sie, dass es einen Endomorphismus gibt mit . (b) In der Situation von (a) seien eines Basis von W, und seien so, dass eine Basis von V sind. Was können Sie über die Abbildungsmatrix von f bzgl. dieser Basis sagen? (c) Sei nun . Folgern Sie aus (a) oder (b): Ist ein f-invarianter Unterraum von V, so enthält W einen Eigenvektor von f. (d) Geben Sie ein Beispiel dafür, dass die Aussage aus (c) nicht über jedem bel. Körper gilt.
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich vorgehen muss.. Ich brauche aber unbedingt die Punkte dieser Aufgaben, um für die Klausur zu gelassen zu werden!!! Ich hoffe, mir kann jemand helfen!
Danke, Else |
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Hallo Else, ist W ein UVR von V, dann kannst Du W als eigenständigen, von V separierten VR betrachten. Eine Verbindung zwischen W als VR und W als UVR von V liefert der Einbettungshomomorphismus i : W ---> V mit i(w_W) = w_V, wobei w_W und w_V eigentlich identisch sind. zu a) Ist W f-invariant, dann ist f(W) in W enthalten und Du kannst f außerhalb von V betrachten. Dies geschieht, indem Du Dir eine Abbildung g : W ---> W mit i(g(w_W)) = f(w_V) definierst. Jedem w_W wird also durch g ein Element von W zugeordnet, das durch Einbettung gleich dem f(w_V) ist, wobei w_V das eingebettete w_W ist. Weil f linear ist, gilt dies auch für g. Also ist g ein Endomorphismus und es gilt nach Definition f(i(w_W)) = f(w_V) = i(g(w_W)), also f o i = i o g. Beachte: Die Situation ist eigentlich sehr aufgebläht, da intern betrachtet g lediglich die Einschränkung von f auf W ist. Aber auf diese Weise hast Du einen eigenen VR-Endomorphismus, den Du völlig unabhängig von f betrachten kannst und dennoch wieder eine Verbindung zu f herstellen kannst. zu b) Weil W f-invariant ist, werden zur Beschreibung der Bilder von w_i nur die w_i und nicht die v_j benötigt. Dadurch entsteht eine Matrix, die links oben einen m x m - Teil für die Bilder der w_i hat; darunter liegt ein (n-m) x m - Teil, der aus lauter Nullen besteht. Über den rechten n x (n-m) - Teil kann keine Aussage getroffen werden, da man über die Bilder der v_j nichts weiss. zu c) Das charakteristische Polynom zum Endomorphismus g hat nach Voraussetzung den Grad dim(W) größer oder gleich 1 und besitzt deshalb im Körper der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle c_E. Diese Nullstelle ist Eigenwert von g; damit besitzt g einen Eigenvektor w_E in W. Wegen f(i(w_E)) = i(g(w_E)) = i(c_E * w_E) = c_E * i(w_E) ist i(w_E) Eigenvektor von f. zu d) Für K = R (reelle Zahlen) definiere f : R^3 ---> R^3, f(x,y,z) = (-y,x,z). Der UVR W = {(x,y,z) aus R^3 | z=0} ist f-invariant und g : W = R^2 ---> R^2, g(x,y) = (-y,x) ist die Linksdrehung um 90 Grad; ihr charakteristisches Polynom lautet l^2 + 1 und hat in R keine Nullstelle. Also hat g keinen Eigenvektor (ist ja ohnehin klar - Drehung!) und damit hat f auch keinen Eigenvektor. Gruß Rentnerin |
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Hallo Rentnerin! Vielen lieben Dank für die tolle Hilfe! Ich habe noch ein paar Fragen: zu a) Was ist mit w_W und w_V gemeint? ?
b) w_i bezeichnet die Elemente der Basis von W und v_i die Elemente der Basis von V?
c) w_E bedeutet was? der Eigenvektor w von f?
Lieben Dank, Else
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zu a) Wegen der Unterscheidung zwischen dem eigenständigen VR W und dem in V enthaltenen UVR w habe ich die Elemente mit w_W und w_V indiziert. Bei ein und demselben w kannst Du je nach Betrachtungsweise mit w_W oder mit w_V arbeiten. zu b) Vorsicht, die (w_i) i=1...m bilden die Basis von W und die (v_j) j=m+1...n ergänzen die w_i zu einer Basis von V; die v_j sind also keine Basis von V! zu c) w_E ist ein Eigenvektor von g : W ---> W. Damit ist der eingebettete Vektor i(w_E) ein Eigenvektor von f! Gruß Rentnerin |
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