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Endomorphismus und Vektorraum Aufgabe (f^n)

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Lineare Abbildungen

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

anonymous

22:50 Uhr, 20.06.2016

Hallo,

Ich hab Folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Sei

V

ein Vektorraum und

f

ein Endomorphismus auf

V

.
Seien nun

v \in V

und

n \in ℕ

so, dass

f^{n} (v) \neq 0

und

f^{n + 1} (v) = 0

(mit

f^{n} = f \circ f \circ f \circ . .

n

mal).

Beweisen sie, dass die Vektoren

v, f (v), f^{2} (v) ... . f^{n} (v)

linear unabhängig in

V

sind.

Mein Ansatz war, dass man ja vielleicht irgendwie darüber argumentieren könnte , dass

f^{n} (v) \in

Ker

f

ist und dann quasi irgendwie eine Induktion aufzieht.

Andererseits kann es auch sein, dass man sich die Matrix zu der Abbildung nehmen muss,
und das über die Matritzenmultiplikation löst.

Ich stehe da aber irgendwie völlig auf dem Schlauch

: (

Vielen Dank im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:43 Uhr, 21.06.2016

Hallo,

schreib Dir mal die Bedingung für lineare Unabhängigkeit hin und wende darauf

f^{(n)}

an.

Gruß pwm

anonymous

08:55 Uhr, 21.06.2016

Na die Bedingung ist ja in diesem Fall

\sum_{i = 0}^{n} λ_{i} \cdot f^{n} (v) = 0 \Rightarrow

alle

λ_{i} = 0

.

Das Problem ist, Aus

f^{n} (v) = 0

kann ich ja nicht gleich folgern, dass

λ_{n} = 0,

oder?

Wie soll ich den da

f^{n}

anwenden, da muss ich wahrscheinlich irgendwie die Linearität benutzen, aber wie?

Kannst du mir vielleicht ein Beispiel für einen Solchen Endomorphismus geben, ich kann mit das irgendwie schwer vorstellen

pwmeyer aktiv_icon

09:31 Uhr, 21.06.2016

Hallo,

zunächst hast Du die Bedingung falsch aufgeschrieben. Dann sollst Du betrachten:

f^{n} [\sum_{i = 0}^{n} λ_{i} f^{i} (v)]

"da muss ich wahrscheinlich irgendwie die Linearität benutzen ...?" Genau.
"aber wie" Genauso wie Linearität einer Abbildung definiert ist.

Gruß pwm

anonymous

09:48 Uhr, 21.06.2016

Na den Therm von dir kann man ja mit linearität umformen zu:

\sum_{i = 0}^{n} λ_{i} f^{n + i} (v)

Aber

f^{n + 1}

und damit auch

f^{n + 2}

und so weiter sind ja alle

0,

f (0) = 0,

also kann ich da ja dann nichts über die entsprechenden

λ_{i}

sagen, oder?

Und warum darf ich einfach nochmal

f^{n}

auf den ganzen Therm anwenden? Gibt es da irgendeinen Satz?

michaL aktiv_icon

10:02 Uhr, 21.06.2016

Hallo,

\sum_{i = 0}^{n} λ_{i} f^{i} (v) = 0

Wenn du darauf

f^{n}

anwendest, erhältst du korrekterweise

\sum_{i = 0}^{n} λ_{i} f^{n + i} (v) = 0

> Aber

f^{n + 1}

und damit auch

f^{n + 2}

und so weiter sind ja alle 0, da

f (0) = 0

, also kann ich da ja dann nichts über
> die entsprechenden

λ_{i}

sagen, oder?

Denk doch noch mal genau nach. Die Summe oben beginnt NICHT mit

i = 1

!
Und genau da liegt die Möglichkeit, eine Aussage über genau eines der

λ_{i}

zu treffen.

Ja, du hast recht, du musst aber eine Aussage über ALLE

λ_{i}

treffen.
Und jetzt kommst du noch mal ins Spiel. Wie könnte man jetzt weitermachen?

> Und warum darf ich einfach nochmal

f^{n}

auf den ganzen Therm anwenden? Gibt es da irgendeinen Satz?
Die Frage kannst du jetzt vielleicht selbst beantworten?!

Mfg Michael

anonymous

10:24 Uhr, 21.06.2016

Okay, langsam ergibt das alles einen Sinn :-)

Aus

\sum_{i = 0}^{n} λ_{i} f^{n + i} (v) = 0 \Rightarrow λ_{1} = 0

Nun kann man das ganze nochmal machen, indem man

f^{n - 1}

auf die gleichung anwendet und bekommt dann

λ_{2}

heraus und so weiter...

Jetzt nur noch die Frage, darf ich im allgemeinen jeden homomorphisms /endomorphismus auf jede gleichung anwenden oder gibt es da irgend welche Einschränkungen?

Vielen Dank für die schnellen Antworten!

michaL aktiv_icon

12:34 Uhr, 21.06.2016

Hallo,

> Jetzt nur noch die Frage, darf ich im allgemeinen jeden homomorphisms /endomorphismus auf jede gleichung
> anwenden oder gibt es da irgend welche Einschränkungen?

Keine Einschränkungen. Welche auch?! Eigentlich wendest du den Homomorphismus auf einen Vektor an, nicht auf eine Gleichung.
Die Gleichung gibt nur an, dass der Vektor, auf den der Homomorphismus angewendet wird, von besonderer Form ist.
Gleichungen beschreiben der konkretisieren Eigenschaften!

Mfg Michael

anonymous

12:38 Uhr, 21.06.2016

Okay, jetzt sind alle Unklarheiten beseitigt

Vielen Dank für die Antworten!

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