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Endomorphismus von V mit Eigenschaft f^2 = f

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

 
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anonymous

anonymous

20:49 Uhr, 08.12.2009

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hallo ich hab mal ne frage

die lautet:

Es sei V ein K -Vektorraum und f:V→V ein Endomorphismus von V mit der Eigenschaft
f2=f.
Man zeige V= ker(f) ⊕ im(f).

ich weiß gar nicht wie man das mit der eigenschaft verbinden kann
ich hoffe jemand kann mir helfen bitte!!!

grüß nana217

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

21:03 Uhr, 08.12.2009

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Hallo Nadya,

zwei Dinge muss man zeigen:
* Ker(f)∩Im(f)={0}
* ∀v∈V∃u∈Ker(f),w∈Im(f): v=u+w

Der erste Teil geht einfach: Sei x∈Ker(f)∩Im(f), d.h. x∈Ker(f), also f(x)=0, und x∈Im(f), d.h. es gibt ein y∈V mit f(y)=x.
Wegen f(x)=0 und x=f(y) gilt: x=f(y)=f2(y)=f(f(y))=f(x)=0, damit ist der Teil bewiesen.

Zweiter Teil: Betrachte für v∈V: u:=v-f(v).
Es gilt f(u)=f(v-f(v))=f(v)-f2(v)=f(v)-f(v)=0 wegen Linearität und f2=f. Also gilt: u∈Ker(f).

Logischerweise ist w:=-f(v)=f(-v)∈Im(f). Zusammen gilt: v=u+w.

Was haben wir gezeigt: Jedes v∈V lässt sich als Summe v=u+w mit u∈Ker(f) und w∈Im(f) darstellen, d.h. es gilt V=Ker(f)+Im(f). Außerdem haben wir gezeigt, dass die beiden Unterräume nur den Nullvektor gemeinsam haben, also ist die Summe direkt, d.h. es gilt: V=Ker(f)⊕Im(f).

Mfg Michael
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

10:21 Uhr, 10.12.2009

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danke michael !!!