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Entkoppeln einer DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

anonymous

12:18 Uhr, 15.11.2014

Hallo ich soll folgende DGL lösen:

{\overset{..}{x}}_{1} = 0 {\overset{..}{x}}_{2} = ω {\dot{x}}_{3} {\overset{..}{x}}_{3} = - ω {\dot{x}}_{2}

mit

x (0) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \dot{x} (0) = (v_{x_{0}}, v_{y_{0}}, v_{z_{0}})

Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet :-)

x_{1} = 0

ist ja trivial. Die anderen beiden sind ja gekoppelt, deswegen muss ich diese erst entkoppeln:

Dazu konstruiere ich eine 2x2 Matrix und berechne ihre Eigenwerte oder?:

A = [{0,

ω

},{-

ω

,0}]

Ich weiß nun nicht ganz weiter..

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:35 Uhr, 15.11.2014

Im Prinzip sieht man sofort, dass es Sinus und Cosinus ist.

Aber der "richige" Weg ist wohl über die Matrix.
Nur ist es in diesem Fall zu kompliziert.
Ich würde einfach Folgendes machen: eine Gleichung davon noch einmal Ableiten und dann Einsetzen.
Also, ich meine:

x_{2} ʺ = ω x_{3}^{ʹ} = > x_{2} ‴ = ω x_{3} ʺ = ω (- ω x_{2}^{ʹ}) = - ω^{2} x_{2}^{ʹ}

.
Und wenn jetzt

y := x_{2}^{ʹ}

, gibt's eine einfache Gleichung

y ʺ = - ω^{2} y

mit der Lösung

y = A \cos (ω x) + B \sin (ω x)

.
Daraus folgt sofort, dass beide

x_{2}

und

x_{3}

diese Form haben müssen.

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12:38 Uhr, 15.11.2014

Die Eigenwerte von

A

sind übrigens auch nicht schwer zu finden.

\det (A - x E) = x^{2} + ω^{2}

=> Eigenwerte sind

\pm ω i

anonymous

12:51 Uhr, 15.11.2014

Ah ok, danke für die schnelle Antwort, ich würde gerne den Weg über die Matrix nehmen, da wir das gerade in der Vorlesung gemacht haben. Die Eigenwerte sind nicht schwer, ja.

Was muss ich denn jetzt damit machen?

LG

DrBoogie aktiv_icon

13:52 Uhr, 15.11.2014

Weiter muss man Eigenvektoren bestimmen.
In diesem Fall sind sie einfach:

(1, i)

und

(1, - i)

-

Und dann ist die Lösung

(x_{2}^{ʹ}, x_{3}^{ʹ}) = A \cdot (1, i) e^{i ω x} + B \cdot (1, - i) e^{- i ω x} =

= ((A + B) \cos (ω x) + i (A - B) \sin (ω x), i (A - B) \cos (ω x) - (A + B) \sin (ω x))

.

Wenn man reelle Lösungen braucht, muss man getrennt Real- und Imaginärteil nehmen.

Aber das ist alles Theorie, das musst Du sowieso kennen.

anonymous

14:23 Uhr, 15.11.2014

Vielen Dank! :-)

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