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Entwickeln einer Funktion in einer Taylorreihe

Schüler

Tags: Entwickeln Taylor-Reihe, Taylorreihe

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roho199

roho199 aktiv_icon

08:28 Uhr, 20.03.2014

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Hallo,

hab eine Frage zu einem Problem, wo ich der Meinung bin, dass ich einen grundsätzlichen Gedankenfehler habe.

Und zwar, ich soll die Funktion

f (x) =

arctan(x) an der Stelle

0

in einer Taylorreihe entwickeln und den Konvergenzradius bestimmen.

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (0)}{n!}

Dann habe ich die Ableitungen 1 bis 5 ermittelt

f (x) =

arctan(x)

\to f (0) = 0

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \to f^{'} (0) = 1

f^{''} (x) = \frac{- 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} \to f^{''} (0) = 0

f^{'''} (x) = \frac{8 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \to f^{'''} (0) = - 2

f^{4} (x) = \frac{24 x}{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{48 x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{4}} \to f^{4} (0) = 0

f^{5} (x) = \frac{24 x}{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{288 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}} - \frac{384 x^{4}}{{(1 + x^{2})}^{5}} \to f^{5} (0) = 24

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (0)}{n!} = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} \cdot x + \frac{f^{''} (0)}{2!} \cdot x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} \cdot x^{3} + \frac{f^{4} (0)}{4!} \cdot x^{4} + \frac{f^{5} (0)}{5!} \cdot x^{5} + . .

.

Wenn ich nun die abgeleiteten

f^{n} (0)

einsetze kommt

f (x) = x - \frac{2 x^{3}}{3!} + \frac{24 x^{5}}{5!} + . .

.

Wo mache ich den Fehler?

Bitte um Hilfe - DANKE.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Respon

09:02 Uhr, 20.03.2014

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Kürze deine entstandenen Brüche:

- \frac{2 \cdot x^{3}}{3!} = - \frac{2 \cdot x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} = - \frac{x^{3}}{3}

\frac{24 \cdot x^{5}}{5!} = \frac{24 \cdot x^{5}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{x^{5}}{5}

..und vergleiche mit Wolfram
http//www.wolframalpha.com/input/?i=series+arctan%28x%29

roho199

roho199 aktiv_icon

10:04 Uhr, 20.03.2014

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d . h

. das schaut ja recht gut aus.

f(x)=x−

\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{9}}{9}

OK, und wie komme ich nun auf die Werte für den Konfergenzradius?

Berechnet wird er ja mit

lim_{n \to \infty} (\frac{a (n)}{a (n + 1)})

aber kannst du mir bitte erklären wie ich auf

a (n)

komme.

Antwort

Respon

10:14 Uhr, 20.03.2014

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Versuche, deine Reihe in die Form zu bringen:

\sum_{n = 0}^{\infty} ...

.
Dann hast du auch dein konkretes

a_{n}

und

a_{n + 1}

roho199

roho199 aktiv_icon

10:34 Uhr, 20.03.2014

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\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (0)}{n!}

meintest du das?
Wo ist da das

a (n)

bzw das

a (n + 1)

Antwort

Respon

10:46 Uhr, 20.03.2014

Antworten

Nein, sondern das
arctan

(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 \cdot n + 1}}{1 + 2 \cdot n} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - . .

.

Antwort

Respon

10:55 Uhr, 20.03.2014

Antworten

Noch eine Bemerkung zur Reihenentwicklung. Die Methode mit

f' (0), f'' (0), f''' (0) ...

. ist zwar korrekt, aber doch sehr rechenintensiv.
Bei arctan bietet sich eine leichtere Variante an.
Für die Ableitung gilt ja (arctan(x))'=

\frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{1}{1 + x^{2}}

kann ich aber durch eine simple Polynomdivision ohne Integrieren in eine Reihe verwandeln.

\frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{5} + x^{6} - . .

.
Durch Integrieren gelange ich wieder zu arctan(x)
Also
arctan(x)=

\int 1 d x - \int x^{2} d x + \int x^{4} d x - \int x^{5} d x + ... = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - . .

.

roho199

roho199 aktiv_icon

11:02 Uhr, 20.03.2014

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Danke für den Tipp.

Aber ich steh noch immer vor dem Problem wie komm ich zu

a (n)

?

Ich check es nicht.

Antwort

Respon

11:08 Uhr, 20.03.2014

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arctan

(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 \cdot n + 1}}{1 + 2 \cdot n} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - . .

.

Das ist nun eine alternierende Reihe

\to

Leibniz-Kriterium

a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 \cdot n + 1}}{1 + 2 \cdot n}

a_{n + 1} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{x^{2 \cdot (n + 1) + 1}}{1 + 2 \cdot (n + 1)}

Frage beantwortet

roho199

roho199 aktiv_icon

11:13 Uhr, 20.03.2014

Antworten

DANKE, für die Hilfe und deine Geduld.

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