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Entwickeln rationaler Funktion in eine Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenzradius, Potenzreihe, Rationale Funktionen

 
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piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

08:42 Uhr, 17.11.2019

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Hallo,

man soll die rationale Funktion r(x)=1z2+z-2 in einer Umgebung von z0=0 in eine Potenzreihe entwickeln.
Darüber hinaus ist der Konvergenzradius dieser Potenzreihe zu bestimmen und zu begründen wieso der Konvergenzradius so ist wie er ist...

Ich habe nun so angefangen:

r(x)=1z2+z-2=1(z-1)(z+2)

Dann habe ich die Partialbruchzerlegung gemacht. Somit:
A=13
und
B=-13

Ergebnis der Partialbruchzerlegung =(13z-1)+(-13z+2)

Weiter gehts:

1. Teil: (13z-1)

=131z-1

=-1311-z

=-13n=0zn

=n=0-13zn


2. Teil: (-13z+2)
=-1312+z

=(-13)(12)1(1+(z2))

=-1611-(-z2)

=-16n=0(-z2)n

=-16n=0(-12)nzn

=n=0(-16)(-12)nzn Bis hierhin bin ich noch zuversichtlich...

=n=0(-16)(-1)n2nzn

=n=0-(-1)n6(2n)zn Hierbei bin ich mir absolut unsicher...

Dann das Cauchy Produkt oder?

Mit:

ak= (-13)

bk= (-16)(-12)n

k=0n(-13)(-16)(-12)n-k

=118k=0n(-12)n-k

=118k=0n-12n-k

=-118k=0n12n-k

=-118k=0n12l

=-118l=0n(12)l geometrische Reihe

=-1181-(12)n+11-(12)


Ich glaube bis hierhin sind auch noch ein paar Fehler drin, oder?
Ich hab aber keine Ahnung wie... ich sitze seit 2 Tagen an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter.
Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt die Lösung zeigen?

Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

Respon

09:47 Uhr, 17.11.2019

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Also mal ganz "grob". ( Ich verwende " x " . )

13x-1=13n=0-xn=16n=02(-xn)

-13x+2=-13n=0xn(-1)n2-1-n=16n=0-2xn(-1)n2-1-n

13x-1-13x+2=16n=02(-xn)-2xn(-1)n2-1-n=16n=0xn(-2+(-1)n+12-n)


Vergleiche mit "Wolfram" - aber sicher geht es anders auch.

Serie
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

09:59 Uhr, 17.11.2019

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Vielen Dank für deine Mühe.

Du hast ja beide Summen zu einer zusammengefügt und hast am Ende Somit eine Summe. Muss man dafür nicht das Cauchy Produkt machen?

Ich stehe jetzt ganz auf dem Schlauch.
Also ist meine Rechnung oben komplett falsch?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:21 Uhr, 18.11.2019

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Hallo
Du addierst doch zwei Summen, das gibt kein Produkt!
Ledum
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HAL9000

HAL9000

18:27 Uhr, 18.11.2019

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@piviertelquadrat

Dazu hast du doch die PBZ gemacht, DAMIT es dann einfach eine Summe ist! Ansonsten hättest du dich ja auch gleich beim PRODUKT r(z)=1z-11z+2 durch die Cauchy-Reihen kämpfen können ... eher nicht zu empfehlen.

piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

21:06 Uhr, 18.11.2019

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Ja das ergibt Sinn... Dankeschön!!
Ich wäre dann jetzt als nächstes hingegangen und hätte von beiden Summen jeweils den Konvergenzradius bestimmt.
Korrekt?

Leider bin ich jetzt noch unterwegs, daher kommt erst morgen mein Ergebnis.
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

13:40 Uhr, 19.11.2019

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Anbei findet ihr meine Lösung sprich PBZ und anschließend Konvergenzradius berechnet.
Bei dem ersten Konvergenzradius (13) bin ich mir absolut nicht sicher.

Bin für jede Kritik und Lösung dankbar.



PicsArt_11-19-01.32.13
PicsArt_11-19-01.31.21
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Respon

Respon

14:30 Uhr, 19.11.2019

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Die Reihenentwicklung von 13x-1 konvergiert für |x|<1
Die Reihenentwicklung für -13x+2 konvergiert für |x|<2

Die Reihenentwicklung für 1x2+x-2 konvergiert für |x|<1
Frage beantwortet
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

16:02 Uhr, 19.11.2019

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Dankeschön.
Alles klar!