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Envelope Theorem/Umhüllungssatz

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Envelope Theorem, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Umhüllungssatz

sarah-m aktiv_icon

13:44 Uhr, 13.11.2013

Hallo liebe Mathe-Profis,

ich habe ein Problem mit einem Ergebnis, welches sich laut Autor aus dem Envelope Theorem ergeben soll.

Zunächst einmal Ist folgender auf

t

diskontierter Nutzen gegeben, den man ableiten muss (was auch kein Problem ist):

V_{t} (z_{t}) = max_{c_{t}} U (c_{t}) + \frac{1}{1 + r} [(1 - p) \cdot V_{t + 1} (z_{t + 1}) + p \cdot J (z_{t + 1})]

.
Dabei sind

V_{t + 1} (.)

und

J (.)

jeweils wieder Barwerte auf

t + 1

diskontiert.

p

ist eine Wahrscheinlichkeit.

Es gilt weiterhin:

z_{t + 1} \leq (z_{t} + b_{t} - c_{t}) \cdot (1 + r)

. Also

: \frac{\partial z_{t + 1}}{\partial c_{t}} = - (1 + r)

Leitet man oben die Nutzenfunktion ab, ergibt sich:

\frac{d V_{t} (z_{t})}{d c_{t}} = U' (c_{t}) + \frac{1}{1 + r} \cdot [(1 - p) \cdot V_{t + 1}' (z_{t + 1}) \cdot \frac{\partial z_{t + 1}}{\partial c_{t}} + p \cdot J' (z_{t + 1}) \cdot \frac{\partial z_{t + 1}}{\partial c_{t}}]

Umgeformt ergibt sich dann:

U' (c_{t}) = (1 - p) \cdot V_{t + 1}' (z_{t + 1}) + p_{t} \cdot J' (z_{t + 1})

Soweit so gut!

Es gilt hierbei nun, dass

V' (z_{t + 1}) \geq J' (z_{t + 1})

. Daraus folgt, dass

U' (c_{t}) \leq V_{t + 1}' (z_{t + 1})

.

Immer noch alles klar.

Jetzt sagt der Autor, dass jedoch aus dem Envelope Theorem folgen würde, dass

V_{t + 1}' (z_{t + 1}) = U' (c_{t + 1})

.

Ich habe mal nach dem Umhüllungssatz gesucht und ungefähr verstanden, worum es dort geht. Aber ich weiß nicht, wie er in diesem Fall angewendet wurde. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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