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Enveloptheorem/Umhüllungssatz

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Enveloptheorem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

DedMorros aktiv_icon

10:39 Uhr, 01.08.2010

<task>

\prod (Q, X, q) = r (Q, q) - c (Q, X)

π (q, x, Q) = r (q, Q) - c (q, x)

x = 1 - X

mit

X \geq \frac{1}{2}

Notwendige und hinreichende Bedingung sind für ein internes Nash-Gleichgewicht sind:

\prod_{Q} = π_{q} = 0

und

\prod_{Q, Q} < 0,

π q, q < 0

.

Wenn

X

so gewählt wird, dass

π (q, 1 - X, Q \cdot (X)) < 0

für alle

q,

bleibt Firma mit

π

außerhalb vom Markt,

d . h

Q \cdot (X) > 0

und

q \cdot (X) = 0

.

Definiert wird

ν (X) \equiv \prod (Q \cdot (X), X, q \cdot (X)) + π (q \cdot (X), 1 - X, Q \cdot (X))

als gesamter Gleichgewichtsgewinn der Industrie.

Wie varriert nun

ν (X)

mit X? Dies wird nach dem Envelope Theorem gelöst, leider kenne ich diesen nicht. Habe aber im Internet etwas rumgesucht und bekomme dann folgendes raus:

\partial ν \frac{X}{\partial} X = \partial \prod : \partial X + d \prod :

dQ*

\partial q : \partial X - \partial π : \partial x + d π :

\cdot \partial Q : \partial X

Stimmt das? Der Autor des Artikels bekommt:

ν (X)' = ν_{X} - π_{x} + ν_{q} \cdot

dq/dY

+ π_{Q} \cdot

dQ/dX

DANKE für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

12:15 Uhr, 02.08.2010

Hallo,

ich muß gestehen, daß ich das Envelope Theorem bis heute auch nicht kannte aber ich habe mich mal im Web schlau gemacht und habe das Envelope Theorem mal auf Dein Problem angewandt.

Wir haben eine Funktion $Π = Π (Q, X, q)$ und wenn wir uns $q$ als vorgegeben denken, ist $Π$ nur noch von $Q$ und $X$ abhängig: $Π = Π (Q, X)$ . Nun wollen wir $Π = Π (Q, X)$ bezüglich $Q$ maximieren, d.h., wir suchen:

$w (X) = \max_{Q} Π (Q, X)$

Die Bedingung für ein Maximum ist:

$\frac{\partial Π}{\partial Q} = 0$ und daraus kann man dann das optimale $Q (X)$ bestimmen.

Für die Ableitung von $w (X)$ bezüglich $X$ gilt:

$\frac{d w}{d X} = \frac{\partial Π}{\partial X} + \frac{\partial Π}{\partial Q} \cdot \frac{d Q}{d X}$

Aber im Optimum gilt ja $\frac{\partial Π}{\partial Q} = 0$ und daraus folgt dann für das optimale $Q (X)$ :

$\frac{d w}{d X} = \frac{\partial Π}{\partial X}$

Diese Aussage nennt man das Envelope Theorem.

Wenden wir das nun auf $v (X) = Π (Q (X), X, q (X)) + π (Q (X), 1 - X, q (X))$ an:

$\frac{d v}{d X} = \frac{\partial Π}{\partial Q} \cdot \frac{d Q}{d X} + \frac{\partial Π}{\partial X} \cdot \frac{d X}{d X} + \frac{\partial Π}{\partial q} \cdot \frac{d q}{d X} + \frac{\partial π}{\partial q} \cdot \frac{d q}{d X} + \frac{\partial π}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d X} + \frac{\partial π}{\partial Q} \cdot \frac{d Q}{d X}$

Nun ist ja wegen des Optimums $\frac{\partial Π}{\partial Q} = 0$ und außerdem $\frac{d X}{d X} = 1$ und $\frac{d x}{d X} = - 1$ (wegen $x = 1 - X$ ). Damit bleibt noch folgendes stehen:

$\frac{d v}{d X} = \frac{\partial Π}{\partial X} + \frac{\partial Π}{\partial q} \cdot \frac{d q}{d X} + \frac{\partial π}{\partial q} \cdot \frac{d q}{d X} - \frac{\partial π}{\partial x} + \frac{\partial π}{\partial Q} \cdot \frac{d Q}{d X} =$ $= \frac{\partial Π}{\partial X} + (\frac{\partial Π}{\partial q} + \frac{\partial π}{\partial q}) \cdot \frac{d q}{d X} - \frac{\partial π}{\partial x} + \frac{\partial π}{\partial Q} \cdot \frac{d Q}{d X}$

Ferner ist $\frac{\partial Π}{\partial X} = \frac{\partial v}{\partial X}$ und $\frac{\partial Π}{\partial q} + \frac{\partial π}{\partial q} = \frac{\partial v}{\partial q} \Rightarrow$

$\frac{d v}{d X} = \frac{\partial v}{\partial X} + \frac{\partial v}{\partial q} \cdot \frac{d q}{d X} - \frac{\partial π}{\partial x} + \frac{\partial π}{\partial Q} \cdot \frac{d Q}{d X} = v_{X} + v_{q} \cdot \frac{d q}{d X} - π_{x} + π_{Q} \cdot \frac{d Q}{d X}$

Die tiefgestellten Indizes sollen partielle Ableitungen nach der jeweiligen Variablen bedeuten.

Ich denke, nun steht genau das da, was der Autor angegeben hat.

Viele Grüße

Yokozuna

DedMorros aktiv_icon

12:22 Uhr, 02.08.2010

Hatte bisher auch noch nie was davon gehört und da ich in Mathe nicht sehr fit bin, fällt es mir dann schwer in so was einzufügen! ;-) Danke dir!

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