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Epsilon-Delta-Kriterium

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: epsilon-delta-kriterium, Stetigkeit

 
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SoNyu

SoNyu

16:35 Uhr, 23.09.2013

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Hallo,

ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei f:ℝ→ℝ, f(x)=x2

Ich soll zeigen, dass f in Null stetig ist. Dies soll ich mit dem Epsilon-Delta-Kriterium machen.

Also:

∀ε>0∃δ>0:∣x-c∣<δ⇒∣f(x)-f(c)∣<ε

Ich hätte nun eine Frage und zwar, würde es reichen, dass ich zeige, dass g(x)=x in Null stetig ist und dann miteinander verkette?

Den f(x)=x2 wäre ja nichts anderes als f(x)=x⋅x

Und die Verkettung stetiger Funktionen ist selbst wieder stetig.

Wenn ich zeigen soll, dass f in Null stetig ist, kann ich dann auch zeigen, dass f überall stetig ist?

Wenn ich nun die Definition anwende, dann erhalte ich ja:


∣f(x)-f(0)∣<ε

∣x2-0∣<ε

x2 ist immer positiv also kann ich die Beträge auch weglassen.

x2<ε

Das muss ich doch nun gegen ∣x-0∣<δ abschätzen?

Nachtrag:

Ich hätte jetzt einfach so weitergerechnet:

x<ε

Damit schätze ich jetzt ∣x-c∣<δ nach oben ab:

∣ε-0∣<δ

Das was innerhalb des Betrages steht ist immer positiv:

ε<δ

ε<δ2

Das heißt wenn mir jemand ein Epsilon vorgibt, dann brauch ich mein Delta nur quadrieren und befinde mich in einer geeigneten Umgebung.

Ist meine Vorgehensweise bis hier hin korrekt?
Wäre über einen Tipp wie ich weiter machen kann sehr dankbar.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Bummerang

Bummerang

17:37 Uhr, 23.09.2013

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Hallo,

generell ist die Sache des Nachweises mit f(x)=x⋅x als Produkt zweier stetiger Funktionen machbar, wenn aber die Aufgabenstellung lauter, dass das epsilon-delta-Kriterium benutzt werden soll, ist dieses auch anzuwenden.

Die Anwendung des Kriteriums würde ich so angehen:

Wenn für ein beliebiges ε>0 gelten soll, dass |f(x)-f(0)|<ε ist, dann muss gelten:

|x2-02|<ε

|x2|<ε

x2<ε

|x|<ε

|x-0|<ε

Sei nun definiert δ:=ε.

Für dieses δ gilt nun umgekehrt, dass |f(x)-f(0)|<ε ist.

Damit ist die Existenz des δ durch Konstruktion eines δ bewiesen.
SoNyu

SoNyu

17:50 Uhr, 23.09.2013

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Danke für deine Antwort, aber habe ich nicht genau dies gemacht?

Jedenfalls bis zu dem Punkt, wo ich

∣x-0∣<δ

das x durch ε abschätze.

Okay, also:

Sei δ:=ε

∣x-0∣<ε

∣x∣<ε

x2<ε

Hat noch jemand ein Kommentar dazu?
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Bummerang

Bummerang

09:37 Uhr, 24.09.2013

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Hallo,

"...aber habe ich nicht genau dies gemacht?"

Klares Nein! Nach x2<ε hast Du angefangen zu schwimmen und wild zu rudern.

1. "Das muss ich doch nun gegen ∣x-0∣ <δ abschätzen?" - Unsinn, Du hast gar kein δ gegeben, Du musst ein δ bestimmen oder wenigstens die Existenz eines solchen positiven δ nachweisen!

2. Im nächsten Schritt hast Du die Betragszeichen vergessen!

3. "Damit schätze ich jetzt ∣x-c∣ <δ nach oben ab:" - Das c ist 0, der betrag ergibt sich damit zu |x| und der ist kleiner ε, was willst Du da nach oben abschätzen?

4. ∣ ε-0 ∣ <δ
Was soll jetzt das? In dem Betrag können für x auch negative Werte stehen, das Du ersetzt hast muss nicht immer 0 sein, da kannst Du nicht einfach einen Wert durch einen nach oben abgeschätzten positiven Wert ersetzen. Bei Beträgen gilt höchstens die Dreiecksungleichung, bei der man danach einzelne Beträge nach oben abschätzen kann!

5. ε<δ2
Nimm also ein ε>0, sagen wir mal ε=1, dann wählt man δ>1, denn dann ist ε=1<9=δ2, sagen wir mal δ=3. Das erfüllt die Bedingung und damit sind die Funktionswerte für alle x∈(0-δ;0+δ)=(-δ;δ) alle in (f(0)-ε;f(0)+ε)=(-ε;ε). Mit anderen Worten, für x=2 gilt:

2∈(-3;3) und f(2)=22=4∈(-1;1)

Dass das nicht stimmt, siehst Du selber, oder?

6. "Das heißt wenn mir jemand ein Epsilon vorgibt, dann brauch ich mein Δ nur quadrieren und befinde mich in einer geeigneten Umgebung." - Das δ kannst Du nicht quadrieren, da Du es gar nicht vorgegeben hast. Gegeben ist nur ε und damit musst Du ein geeignetes δ bestimmen!

"...aber habe ich nicht genau dies gemacht?" - Das kann ich nicht bestätigen!
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