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Epsilon - Delta Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

Mirki007 aktiv_icon

19:26 Uhr, 07.01.2026

Hallo Leute,

ich habe folgendes Problem. Ich habe eine Funktion

f (x) = \frac{1}{x^{2} - x - 2}, x

Element

(0,1)

und soll mit Hilfe der Epsilon

Δ

Formulierung der Stetigkeit die Funktion auf Stetigkeit überprüfen.

Ich habe die Differenz

| f (x) - f (x 0) |

schon gebildet, weiß allerdings nicht wie ich die Abschätzung machen soll, da dies mein generelles Problem ist.

| f (x) - f (x 0) | = \frac{(x 0 - x) \cdot (x 0 + x)}{(x^{2} - x - 2) \cdot (x 0^{2} - x 0 - 2)}

= \frac{(x 0 - x) \cdot (x 0 + x)}{(x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x 0 + 1) \cdot (x 0 - 2)}

Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Randolph Esser aktiv_icon

21:10 Uhr, 07.01.2026

Sei

g : [0,1] \to ℝ, x \mapsto x^{2} - x - 2 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

Dann gilt

| g (x) | > | g (0) | = | g (1) | = 2

für alle

x \in (0,1),

was wir zum Abschätzen nutzen werden.

Sei nun

x_{0} \in (0,1), ε > 0, δ := min {4 ε, min {x_{0}, 1 - x_{0}}}

.

Dann gilt

| f (x) - f (x_{0}) |

= | \frac{1}{x^{2} - x - 2} - \frac{1}{x_{0}^{2} - x_{0} - 2} |

= | \frac{(x_{0}^{2} - x_{0} - 2) - (x^{2} - x - 2)}{(x^{2} - x - 2) (x_{0}^{2} - x_{0} - 2)} |

= \frac{| (x_{0}^{2} - x_{0} - 2) - (x^{2} - x - 2) |}{| (x^{2} - x - 2) (x_{0}^{2} - x_{0} - 2) |}

= \frac{| (x_{0}^{2} - x_{0} - 2) - (x^{2} - x - 2) |}{| (x^{2} - x - 2) | | (x_{0}^{2} - x_{0} - 2) |}

< \frac{| (x_{0}^{2} - x_{0} - 2) - (x^{2} - x - 2) |}{4}

(hier benutzt:

| x 2 - x - 2 | > 2

für alle

x \in (0,1))

= \frac{| (x_{0}^{2} - x^{2}) - (x_{0} - x) |}{4}

= \frac{| (x_{0} - x) (x_{0} + x) - (x_{0} - x) |}{4} (3

. binomische Formel)

= \frac{| (x_{0} - x) (x_{0} + x - 1) |}{4}

= \frac{| x_{0} - x | | x_{0} + x - 1 |}{4}

< \frac{| x_{0} - x |}{4}

(hier benutzt:

| x_{0} + x - 1 | < 1

für alle

x, x_{0} \in (0,1))

< ε

für alle

x \in (x_{0} - δ, x_{0} + δ) \subseteq (0,1),

und somit ist

f

stetig.

Mirki007 aktiv_icon

21:28 Uhr, 07.01.2026

Hallo Randolph,

super , vielen lieben Dank.

LG Mirki

Mirki007 aktiv_icon

21:28 Uhr, 07.01.2026

Hallo Randolph,

super , vielen lieben Dank.

LG Mirki

Randolph Esser aktiv_icon

21:38 Uhr, 07.01.2026

Hallo Mirki007, Bitte, no Problem.

Das sind halt diese ganzen kleinen Abschätzungstricks...

Achte auch die Scheitelpunktform von

g,

sehr nützlich...

Ein

x 2

sollte oben eigentlich

x^{2}

sein
(bei der Bemerkung zu der Abschätzung), sorry.

KL700 aktiv_icon

05:54 Uhr, 08.01.2026

Man könnte auch arbeiten mit:

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

calc007

12:57 Uhr, 08.01.2026

Hallo
Wenn ich ergänzen dürfte:
Wichtig hielte ich ja auch, dass du nicht nur irgendwelche Formalismen hin- und her-wandelst, sondern auch dir selbst (und ggf. den Lesern) klar machst, was du damit betreiben und Nutzen ziehen willst.
Du willst 'Stetigkeit' untersuchen.
Wunderbar!
Wo?
An welcher Stelle?
An welcher Stelle ziehst du die Stetigkeit in Zweifel?

Mirki007 aktiv_icon

15:33 Uhr, 08.01.2026

Hallo,

ich versuche gerade bzgl. den Abschätzungen ein Gefühl zu entwickeln. Ich hoffe es stört euch nicht, wenn ich verschiedene Aufgaben inklusive meiner Lösungsvorschläge hier zeige, weil ich sonst keinen kenne, der mir helfen könnte.

Passt auf euch auf.

LG

mathadvisor aktiv_icon

16:34 Uhr, 08.01.2026

Nein, das stört nicht, im Gegenteil ist es gut, wenn Du Deine Lösungen, soweit Du gekommen bist, beifügst (bei dieser Frage liegt nichts bei).
Und schreib noch deutlicher dabei, dass Du nur einen Tipp willst, sonst erhälst Du wieder eine detaillierte Rechnung, die Dir bei der Entwicklung des Gefühls dafür nicht wirklich hilft. Es gibt viele verschiedene Lösungswege, der, den Du selbst entwickelst, ist der beste (für Dich).

Mirki007 aktiv_icon

23:16 Uhr, 08.01.2026

Vielen Dank für die Unterstützung.

Ich habe noch eine Aufgabe bei der ich eure Unterstützung bräuchte. Allerdings würde ein Tipp reichen, damit ich mir langsam ein Gefühl für diese Art Aufgaben aneigne :-).

f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x + 1}

und

x > 2

| f (x) - f (y) | = | \frac{x^{2} - 2}{x + 1} - \frac{y^{2} - 2}{y + 1} |

(Hauptnenner gebildet)

= | \frac{(x^{2} - 2) \cdot (y + 1) - (y^{2} - 2) \cdot (x + 1)}{(x + 1) \cdot (y + 1)} |

(ausmultipliziert)

= | \frac{x^{2} \cdot y + x^{2} - 2 y - 2 - y^{2} \cdot x - y^{2} + 2 x + 2}{(x + 1) \cdot (y + 1)} | (- 2

gekürzt gegen

+ 2)

= | \frac{x \cdot y (x - y) + x^{2} + 2 x - y^{2} - 2 y}{(x + 1) \cdot (y + 1)} | (x \cdot y

ausgeklammert)

= | \frac{x \cdot y (x - y) + (x - y) \cdot (x + y) + 2 (x - y)}{(x + 1) \cdot (y + 1)} |

(Variablen sortiert nach

(x - y))

< | (x - y) \cdot \frac{(x \cdot y) + (x + y) + 2}{(x + 1) \cdot (y + 1)} |

(Null hinzuaddiert

- y + y)

< | (x - y) | \cdot | \frac{(x \cdot y) + (x - y) + y + y + 2}{(x + 1) \cdot (y + 1)} |

(zusammengefasst)

< | (x - y) | \cdot \frac{| (x - y) | + x \cdot y + 2 y + 2}{(x + 1) \cdot (y + 1)}

(Bedingung

x > 2)

< | (x - y) | \cdot \frac{| (x - y) | + 5 y + 2}{4 (y + 1)}

(Annahme

Δ \leq 1)

< | (x - y) | \cdot \frac{1 + 5 y + 2}{4 (y + 1)} = | (x - y) | \cdot (\frac{5 y + 3}{4 (y + 1)}) <

Epsilon

Nebenrechnung:

| (x - y) | \cdot \frac{5 y + 3}{4 (y + 1)} <

Epsilon (umgestellt nach

| (x - y |)

δ < (4

Epsilon

\cdot \frac{y + 1}{5 y + 3})

Wenn ich

δ

in diese Gleichung einsetze

(\frac{4 e \cdot (y + 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{5 y + 3}{4 (y + 1)}) <

Epsilon

Ist dies jetzt zu ungenau oder verkehrt, wäre schön eine Rückmeldung zu bekommen :-).

Danke für die Mühe :-)

LG

HAL9000

11:01 Uhr, 09.01.2026

@Mirki007

Einige deiner Abschätzungen sind fragwürdig:

So ersetzt du von der dritt- zur vorletzten Zeile übergehend das

(x + 1)

im Nenner durch 4, so als wäre

x \geq 3

. Wir haben aber hier reelle

x > 2

, wo mitnichten stets

x \geq 3

gilt (das träfe nur auf ganzzahlige

x

zu).

-------------------------------------------------

Ich würde zunächst Polynomdivision nutzen, d.h.

f (x) = \frac{x^{2} - 1 - 1}{x + 1} = x - 1 - \frac{1}{x + 1}

.

Es folgt

f (x) - f (y) = x - y - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} = (x - y) (1 + \frac{1}{(x + 1) (y + 1)})

.

Für

x > 2, y > 2

ist dann

1 < 1 + \frac{1}{(x + 1) (y + 1)} < \frac{10}{9}

, und damit

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq \frac{10}{9} \cdot ∣ x - y ∣

1592184

1592168

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