Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Epsilon-Delta-Stetigkeit für 1/x und Konstante

Epsilon-Delta-Stetigkeit für 1/x und Konstante

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Funktion, konstant, Stetigkeit

chaoshoney aktiv_icon

19:42 Uhr, 31.05.2016

Hallihallo,
ich versuche momentan einen Widerspruchsbeweis für diese Aufgabe zu finden, aber so richtig möchte mir das einfach nicht gelingen:

Benutzen Sie die

ε - δ

- Defintion der Stetigkeit, um zu zeigen, dass es keine reelle Zahl

a

gibt, so dass die Funktion

f : ℝ \to ℝ

mit der Definition

f (x) = \frac{1}{x}, f a l l s \neq 0

a, s o n s t

an der Stelle 0 stetig ist.

Bisher dachte ich folgendes:

Zeige, dass es ein

ε > 0

gibt, so dass für alle

δ > 0

ein

x \in ℝ

mit

x < δ

und

∣ f (x) - f (0) ∣ > ε

.

Dazu schätze wie folgt nach unten ab:

∣ \frac{1}{x} - a ∣ \geq ∣ \frac{1}{∣ x ∣} - ∣ a ∣ ∣ \geq \frac{1}{∣ x ∣} - ∣ a ∣

.

Nun möchte ich

\frac{1}{∣ x ∣} - ∣ a ∣ > 1

betrachten und nach

∣ x ∣

umstellen, um ein Intervall zu erhalten, aber wenn ich umstelle erhalte ich

∣ x ∣ < 1 - ∣ x ∣ \cdot ∣ a ∣

Das kann doch nicht richtig sein, oder? Und wenn doch, wie bringt mich das dann in meiner Beweisführung weiter? :(
Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfestellung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Apilex aktiv_icon

20:43 Uhr, 31.05.2016

"alle δ>0 ein x∈ℝ mit x<δ und ∣f(x)-f(0)∣>ε."
Schreibfehler es muss natürlich ∣f(x)-f(0)∣<ε
gelten was die Folgenden Ausagen auch etwas zerstört(falls dir das schon reicht den rest erst mal ignorieren)

- - - - -

1/∣x∣-∣a∣< 1=(spezielles

ε)

\to δ > 0

beliebig

\Rightarrow

∣x∣>1-∣x∣⋅∣a∣

\Rightarrow

∣x∣+∣x∣⋅∣a∣>1

\Rightarrow | x | > \frac{1}{1 + a}

für

x = \frac{1}{a + 2 + \frac{2}{δ}}

trivial Wiederspruch da

\frac{1}{a + 2 + \frac{2}{δ}} < δ \forall δ

aber

| \frac{1}{\frac{1}{a + 2 + \frac{2}{δ}}} - a | = | a - a + 2 + \frac{2}{δ} | > 1

- - -

nochmal zu der Idee eines Wiederspruchbeweises

\to

normalerweise beginnt man idem mann annimmt es gäbe etwas das die Bedingungen erfüllen würde

\Rightarrow \forall ε > 0 \exists δ > 0

sodass

\forall

x∈ℝ mit |x-0|<δ gilt das : ∣

f (x) - f (0)

∣ = ∣ f(x)-a∣ = ∣

\frac{1}{x}) - a

∣

<

ε.

Danach zeigt mann das diese Annahmen nicht stimmen können häufig in dem man ein Gegenbeispiel anbringt.

- - - -

etwas algemeinere Variante
Zum wiederspruch in diesem Fall hier zeigt man das es an aber ein

x'

gibt das |x'-0|<δ erfüllt aber
für das gilt

| f (x') - a | > ε

für

x'

würde sich zum Beispiel

\frac{1}{a + \frac{2}{ε} + δ}

anbieten was klar kleiner

δ

ist und was aber auch

| f (x') - a |

erfüllt

chaoshoney aktiv_icon

20:54 Uhr, 31.05.2016

Hallo und vielen Dank für diese sehr ausführliche und verständliche Antwort! Wenn ich es jetzt plötzlich so vor meinen Augen habe, macht es auch vollkommen Sinn! Aber von allein darauf zu kommen, das ist natürlich das Problem.
Eine kleine Frage noch: Woher kommt plötzlich der Schritt von

∣ x ∣ > \frac{1}{1 + a}

x = \frac{1}{a + 2 + \frac{2}{δ}}

? Tut mir leid, sollte es offensichtlich sein. Das Thema ist mir noch recht unvertraut.

Apilex aktiv_icon

21:05 Uhr, 31.05.2016

sorry dumm aufgeschrieben sollte eigentlich nicht in der selben Zeile stehen war mehr so gemeint.

⇒ ∣x∣>1-∣x∣⋅∣a∣ ⇒ ∣x∣+∣x∣⋅∣a∣>1 ⇒|x|>

\frac{1}{1 + a}

da für muss man dann ein Element finden das dieser Ausage wiederspricht und das wäre dann zum Beispiel

x = \frac{1}{a + 2 + \frac{2}{δ}} ...

.
(hab ich wirklich komisch aufgeschrieben)

chaoshoney aktiv_icon

21:19 Uhr, 31.05.2016

Okay, perfekt! :-) Dann nur noch eine einzige kleine Frage: Warum ist es hierbei sinnvoll oder wichtig

\frac{2}{δ}

unten in den Nenner des Bruchs miteinzubeziehen? Ich würde doch auch schon ein Widerspruch erzeugen können mit beispielsweise

\frac{1}{a + 2}

, was zu

∣ a - a + 2 ∣

> 1 führt? Oder hast Du

\frac{2}{δ}

dort eingeführt, um es allgemein auf alle möglichen Delta zu beziehen?

Apilex aktiv_icon

21:29 Uhr, 31.05.2016

genau für sehr kleine a und große

δ

würde die Argumentation sonst nicht stimmen (würde natürlich auch nur

\frac{1}{δ}

reichen).
Die Idee dahinter ist das diese einfache Abschäzung möglich sein soll

\frac{1}{a + 2 + \frac{2}{δ}} < \frac{1}{\frac{2}{δ}} = \frac{δ}{2} < δ

chaoshoney aktiv_icon

21:39 Uhr, 31.05.2016

Super, ich habe es verstanden! Vielen, vielen lieben Dank für die gute, ausführliche Hilfe! :-)))

1310134

1310101

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?