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Epsilon bei Supremum/Infimum

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Epsilon, Folgen und Reihen, Infimum, Supremum

NoBalance aktiv_icon

17:33 Uhr, 17.10.2017

Hi,

ich habe folgendes Problem, und zwar verstehe ich nicht den Sinn hinter dem Epsilon beim Supremum und Infimum. Für was steht das Epsilon und was bringt es mir in meinen Beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

tobit aktiv_icon

07:52 Uhr, 18.10.2017

Hallo NoBalance!

Ohne Kontext ist deine Frage für mich schwer zu beantworten.
Kannst du ein Beispiel für die Verwendung der Variable

ɛ

bei einem Supremum oder Infimum posten?

Hier schon einmal ein schwammiger allgemeiner Erklärungsversuch zur Verwendung der Bezeichnung

ɛ

:
Grundsätzlich wird der Variablenname

ɛ

meist nur dann verwendet, wenn

ɛ > 0

gelten soll und man sich

ɛ

gerne nahe 0 vorstellt.

Viele Grüße
Tobias

NoBalance aktiv_icon

18:51 Uhr, 18.10.2017

Das Bild ist aus unserem Skript und ich möchte Wissen, wie ich das

ε

zu verstehen habe. Ich will einfach nur Wissen, wie ich mir das

ε

vorstellen soll und welchen Einfluss es auf mein Supremum und Infimum hat.

tobit aktiv_icon

19:41 Uhr, 18.10.2017

Nehmen wir mal als Beispiel mal den Körper

K = ℝ

der reellen Zahlen und für M das Intervall

M = (0, 1)

der reellen Zahlen echt zwischen 0 und 1.

Die Menge aller oberen Schranken von

M

ist das Intervall

S := [1, + \infty)

.

Die Menge S hat ein Minimum, nämlich die reelle Zahl 1.

Somit ist 1 das Supremum von M.

Nun wird behauptet, dass für jedes

s \in K

folgende beiden Aussagen äquivalent sind:

1.

s

ist ein (und somit das eindeutig bestimmte) Supremum von M

2. (i) s ist obere Schranke von M und
(ii) Für alle

ɛ > 0

existiert ein

x \in M

mit

x > s - ɛ

.

Schauen wir uns Bedingung 2. (ii) an Beispielen mit

M = (0, 1)

an:

(a) s:=1
Dann ist Bedingung 2. (ii) erfüllt:
Z.B. für

ɛ := 0, 2

ist z.B.

x := 0, 9 \in (0, 1)

mit

x > 1 - ɛ

.
Z.B. für

ɛ := 0, 02

ist z.B.

x := 0, 99 \in (0, 1)

mit

x > 1 - ɛ

.
Allgemein kann man zeigen: Für alle "noch so kleinen"

ɛ > 0

findet man ein

x \in M

, was "weniger als

ɛ

Abstand zu s hat".

(b) s:=2
Dann ist Bedingung 2. (ii) nicht erfüllt:
Z.B. für

ɛ := \frac{1}{2}

gibt es kein

x \in (0, 1)

mit

x > 2 - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}

.

Die Bedingung 2. (ii) sichert anschaulich, dass man mit Elementen von M "beliebig nahe" an s herankommen kann, also s nicht zu groß gewählt ist.

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21:05 Uhr, 18.10.2017

Ach so, dann ist das

ε

also eine Art um zu testen ob

x

näher an

s

ist und wenn nicht, dass es sich dabei dann nicht um ein Supremum handelt.

tobit aktiv_icon

00:47 Uhr, 19.10.2017

Ich würde es so formulieren:
Die Bedingung 2. ii) ist notwendig dafür, dass s ein (und somit das) Supremum von M ist.

Es gibt nicht DAS

ɛ

oder DAS x, sondern im Falle, dass Bedinung 2. ii) erfüllt ist, zu jedem

ɛ > 0

mindestens ein dazu "passendes"

x

(wobei ich mit "passend" meine, dass

x > s - ɛ

erfüllt ist).

NoBalance aktiv_icon

16:49 Uhr, 19.10.2017

Ach so okay, dann habe ich jetzt endlich verstanden für was das

ε

steht.
Danke für deine Hilfe :-)

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