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Erastosthenes/ggT/kgV/Hasse-Diagram

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Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Primzahl, Teilbarkeit

 
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Coilinc

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01:31 Uhr, 18.12.2016

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Hi Leute folgende Fragen:

1.) Sieb des Eratosthenes:
12345678910...

2 ist eine Primzahl
nun kann ich bei 2² =4 mit dem Streichen beginnen
⇒123(4)5(6)7(8)9(10)
3 ist eine Primzahl
nun kann ich bei 3² =9 mit dem Streichen beginnen
usw.

Warum ist es möglich immer bei dem Quadrat der neu gefundenen Primzahl mit dem Streichen anzufangen?
Mir ist durchaus klar das alle kleineren Vielfachen in vorherigen Durchläufen bereits gestrichen wurden, aber wie lässt sich das mathematisch erklären?
Und warum kann man bereits bei N mit dem Verfahren aufhören? Wie lässt sich erklären das dann bereits alle übrigen Zahlen Primzahlen sein müssen?

2.) ggT mit Variablen

Aufgabenstellung: gib alle möglichen Werte für n an ggT(140,n) =20
140= 2² ⋅5⋅7
20= 2² ⋅5
2min(2,p)⋅5min(1,q)⋅7min(1,r)= 2² ⋅5
⇒n muss eine Primfaktorzerlegung haben mit p≥2;q≥1;r=0
2p⋅2q⋅2r *prim^x1 *prim^x2 .... prim ≠7
und beliebig vielen anderen Primfaktoren
z.B.: 2²*5*11³*17²
Ist diese Herangehensweise korrekt und wie würde man die unendlichen Lösungen mathematisch aufschreiben?

3.) Außerdem soll a,b bestimmt werden: ggT(a,b) =12
und eine weitere Aufgabe: kgV(a,b) =30
Da stehe ich leider komplett auf dem Schlauch >,<

4.) Hasse-Diagramm

Ich soll die Verknüpfung zwischen 27 und 12 darstellen:

Allerdings ergibt sich dann ein Rechteck: 1,3,4,12
und ein Ast der zu der 27 weggeht.
Wäre diese Darstellung korrekt?

Vielen Dank wer sich die Mühe macht mir zu helfen! LG










Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Roman-22

Roman-22

01:41 Uhr, 18.12.2016

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> Warum ist es möglich immer bei dem Quadrat der neu gefundenen Primzahl mit dem Streichen anzufangen?
Sei p die Primzahl um die es gerade geht und n⋅p ein ganzzahliges Vielfaches von p, welche kleiner als p2 ist. Daher gilt n<9. n ist entweder eine Prinzahl <p (und war daher schon dran) oder ist das Vielfache einer Primzahl <p (und war daher erst recht schon dran) Somit muss n⋅p zwangsläufig bereits gestrichen sein.

> Und warum kann man bereits bei N mit dem Verfahren aufhören?
Wer behauptet denn sowas? Wenn du alle Primzahlen von 2 bis N haben möchtest, musst du das Verfahren immer bis zum Ende durchführen.
Verwechselst du das vielleicht mit der Prüfung, ob eine Zahl N Primzahl ist? Denn das musst du tatsächlich nur die Primzahlen, die kleiner oder gleich N sind durchprobieren. Würde eine größere Primzahl P Teiler von N sein, dann muss es auch eine Primzahl <N geben, die Teiler ist. Denn wenn P ein Teiler von N ist, dann ist N=P⋅NP und PN ist ganzzahlig, ebenfalls Teiler von N und sicher kleiner als N.

P.S.: Nicht zu viele Fragen in einem Thread abhandeln. Das macht die Sache zu unübersichtlich.
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