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Ereignisse, Sigma-Algebren bestimmen
Universität / Fachhochschule
Zufallsvariablen
Tags: Zufallsvariablen
 
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Hallo, ich habe eine Frage bezüglich folgender Aufgabe: Ein Spieler würfelt verdeckt mit zwei Würfeln und teilt uns je nach Vereinbarung Folgendes mit: die Augensumme ob eine Zahl größer als 4 enthalten ist ob sich die Würfelergebnisse um mehr als 2 unterscheiden die beiden Augenzahlen, aber nicht deren Reihenfolge Modellieren Sie jeweils die Menge der beobachtbaren Ereignisse mittels eines geeigneten messbaren Raumes. Meine Lösung: Die Ergebnismenge da zwei Würfel geworfen werden. Ereignis Ereignis Ereignis Hier weiß ich leider nicht wie ich das angeben soll. Die dazugehörigen Sigma-Algebren bezeichne ich mit . Dies sind die kleinsten Sigma-Algebren welche die Ereignisse enthalten. Die Sigma-Algebren zusammen mit der Ereignismenge ergeben dann die messbaren Räume. Kann mir jemand bei der helfen, bzw kurz sagen ob der Rest so richtig wäre oder geht es noch einfacher? Danke Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, dein (a) gibt keinen Sinn; denn du sagst, es sei die Menge aller mit der Eigenschaft . Seit wann ist so etwas eine Eigenschaft? Was meinst du denn tatsächlich? Gruß ermanus |
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Naja ich meine, dass einfach die Summe der beiden und zurückgegeben werden soll. Ich könnte auch schreiben aber dass die Summe zwischen 2 und liegt ist ja klar wenn die nur 1 bis 6 sein können? Wie könnte man anschreiben? |
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Damit hast du nur gesagt, dass der ganze Raum ist. Ich glaube nicht, dass du das sagen willst. Jede Augensumme ist doch eine natürliche Zahl mit . Zu jedem solchen gehört ein anderes Ereignis ... Die Sigma-Algebra, die von diesen Ereignissen erzeugt wird, hat Elemente. |
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Ok, ja verstehe. Ich dachte mir anfangs nur: Wenn ich einfach die Summe zurückgeben lasse, dann muss die zwangsweise sowieso immer zwischen 2 und sein, auch ohne dass ich das explizit verlange. Wie würde es bei der aussehen? Das wird mir wahrscheinlich nicht das liefern was ich will oder? Also "die beiden Augenzahlen, aber nicht die Reihenfolge". Die Reihenfolge wollte ich mit dem = und dann Index vertauschen andeuten. |
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Dein ist die Menge . Das ist es wohl nicht, was du eigentlich willst, oder ? Gruß ermanus |
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Es gibt 2 Typen von elementaren Ereignissen bei d): 1. , also die Ereignisse der Gestalt und 2. , also die Ereignisse der Gestalt Die Ereignisse vom Typ 1 kann man durch die einelementigen Mengen , die des Typs 2 durch die zweielementigen Mengen modellieren ... |
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Ok aber wie gebe ich diese als Menge dann an? Oder wäre das dann die Vereinigung von 2 Mengen? |
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Die Menge der elementaren Ereignisse ist die Vereinigungsmenge der Typ-1-Menge mit der Typ-2-Menge. Ein beliebiges Ereignis, also ein beliebiges Element der -Algebra ist eine Menge, deren Elemente die ein- und 2-elementigen Teilmengen von sind, also z.B. . Damit hat die -Algebra elementare Ereignisse und somit Elemente insgesamt. |
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Ok, also Gibt die zweite Menge wirklich alle Ereignisse an wo ? Das verstehe ich noch nicht. Die -Algebra wäre dann natürlich . Also die kleinste -Algebra die von erzeugt wird. |
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Hallo, dein Formalismus ist grauenhaft ;-) Was soll denn sein? Die Menge aller unzerlegbaren Ereignisse, die ich mit "elementar" bezeichnet habe oder ein einzelnes solches Ereignis ? Was für eine EIGENSCHAFT soll in der zweiten Menge sein? Meinst du, dass die Hintereinanderschreibung zweier Paare eine Aussage ist, von der man sicher wissen kann, ob sie wahr oder falsch ist? Gruß ermanus |
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soll mir einfach das Ereignis "beide Augenzahlen, aber ohne Reihenfolge" geben. So wie ganz oben auch für die anderen Anforderungen. Nur verstehe ich immer noch nicht wie man das als Menge angibt. |
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Also, ich habe den Eindruck, dass du mit dem, was ein Ereignis sein soll, Probleme hast. Nehmen wir einmal an, du würfelst mit 2 Würfeln und willst mir mitteilen, was dabei herausgekommen ist, dann wirst du doch das Ereignis z.B. so mitteilen: "ich habe nur Dreien" oder vielleicht "ich habe eine 2 und eine 5". Also im ersten Fall weiß ich dann, dass das Ereignis darin besteht, dass die Würfel zeigen müssen, also oder im anderen Beispiel Damit ist doch die Menge der Typ1-elementaren Ereignisse , die der elementaren Ereignisse vom Typ2 mit verschiedenen Augenzahlen . hat 6 Elemente, hat 15 Elemente ... ist dann die Menge aller nichtzusammengesetzten Ereignisse. Gruß ermanus |
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Man kann das Modell für (d) auch so konstruieren: wir definieren durch eine Äquivalenzrelation in . Die elementaren Ereignisse sind die Äquivalenzklassen, also die Elemente von . Die zughörige -Algebra ist , wobei die Potenzmenge sein soll. |
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Ah, ja schön langsam verstehe ich es denke ich. Was wäre mit ? Da ich hier sage, dass und aus der Menge sein sollen ist doch die Reihenfolge auch nicht gegeben und es wären aber alle Elemente dabei, oder nicht? |
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Ja, so könntest du die elmentaren Ereignissse auch definieren :-) Aber achte darauf, dass du nicht solche einzelnen Ereignisse mit der Menge aller solcher ereignisse durcheinander wirfst. Bei deinen Mengen , etc. ist nicht ganz klar, ob du Ersteres oder Letzteres meinst. Da musst du klarer formulieren. |
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Ok, das hat mir auf jeden Fall schon mal geholfen. Vielen Dank. Also bei der Bezeichnung sollten etc. die Ereignisse sein, welche die gegebenen formulierten Aussagen wiederspiegeln und die sind ja die Elementarereignisse. Interesse halber: Wie würdest du die Ereignisse formulieren? |
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Bei (a) gibt es mehrere Ereignisse mit . Bei (b) und (c) ist die Beschreibung des Ereignisses bzw. korrekt. Die zugehörigen -Algebren sind also (a) mit Elementen, (b) mit 4 Elementen (c) entsprechend. Gruß ermanus P.S.: häufig gibt es zu solchen Fragestellungen verschiedene Modellierungen, deren jeweilige Logik aber dann strikt eingehalten werden muss, damit man nicht widersprüchliche Bewetungen (Maße, Wahrscheinlichkeiten) für denselben Sachverhalt bekommt. |
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Aber was ist jetzt der Unterschied zwischen mit und Da bekomme ich doch am Ende dieselben Ereignisse oder? Bzw was könnte bei letzterem noch unklar sein? |
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Wenn ich würfele und dir dein schicke, was weißt du dann bzgl. der von mir erwürfelten Augenzahl? |
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Stimmt, dann weiß ich nur, dass sie zwischen 2 und liegt. Dachte das würde irgendwie einfacher gehen. |
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Wenn man also gewisse Ereignisse modellieren will, dann muss man dies so machen, dass die das Ereignis modellierende Menge einem anderen eine klare Information darüber gibt, ob der modellierte Sachverhalt zutrifft oder nicht ;-) |
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Hallo ray11, wenn alles klar ist, bitte abhaken ! Gruß ermanus |
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Stimmt, danke. |
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