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Erfüllung der Assoziativität?

Universität / Fachhochschule

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Tags: Algebraische Strukturen, Gruppen, Gruppenaxiome, Halbgruppen

 
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Florian--

Florian-- aktiv_icon

11:31 Uhr, 09.12.2018

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Folgendes sei gegen: M=Q \{0}, aᐤb =ab

Nun habe ich hier zwei Ansätze:
1. Einfach Ausführung als Division, wie wir es allgemein kennen -
aᐤ(bᐤc) = (aᐤb)ᐤc

abcabc----------- (unformatted a/(b/c)≠(a/b)/c)
⇒ Nicht assoziativ

2. In der Algebra ist der Operator der Division einfach eine Multiplikation mit dem Inversen
aᐤ(bᐤc) = (aᐤb)ᐤc

a-1(b-1c-1)=(a-1b-1)c-1
⇒ assoziativ


Kann mir hier jemand weiter helfen? Ich kann absolut nicht feststellen, welche der beiden Varianten nun richtig ist. Vielen Dank schon mal im Vorhinein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

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12:23 Uhr, 09.12.2018

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a°b =ab=ab-1

a°(b°c)= a° (bc-1)=a(bc-1)-1=ab-1c

(a°b)°c =(ab-1) °c =(ab-1)c-1=ab-1c-1

Florian--

Florian-- aktiv_icon

12:27 Uhr, 09.12.2018

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Das stimmt, das habe ich übersehen! Es wird ja jeweils nur eine Teil zum Inversen.
D.h. also, dass es nicht assoziativ ist ?!
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12:29 Uhr, 09.12.2018

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Ja, es ist nicht.
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Florian--

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12:30 Uhr, 09.12.2018

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Danke! und vor allem danke für die schnelle Antwort!! ☺️☺️
Florian--

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13:57 Uhr, 09.12.2018

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Ich hätte noch eine Frage zu selbigen Beispiel. Wie sieht es mit der Existenz eines neutralen Elements aus?

Grundsätzlich gilt ja, aᐤe = eᐤa =a
Natürlich ist die Division nicht kommutativ ⇒ aᐤe ≠ eᐤa

aᐤe =a

ae=a

a=ae

e=aae=1

Allerdings gilt dies eben nur für die Verknüpfung aᐤe. Führt man die Probe mit eᐤa durch, dann ergibt sich nicht a1=a, sondern 1a=a. Das stimmt natürlich nicht und würde damit einen Widerspruch darstellen ↯.

Existiert das neutrale Element dennoch, oder müssen dafür immer a ᐤ e=a UND ea=a ?? Weil kommutativ muss es für eine gewöhnliche Gruppe doch nicht sein. Oder stellt das Neutrale bzw. Inverse hier eine Ausnahme dar?
Frage beantwortet
Florian--

Florian-- aktiv_icon

12:32 Uhr, 10.12.2018

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