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Ergebnismenge + beobachbare Ereignisse

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

icefox01 aktiv_icon

11:50 Uhr, 29.06.2020

Hi, ich habe eine kleine Frage zu folgender Aufgabe:

In einem Gefäß liegen fünf 1-Cent, drei 2-Cent, eine 5-Cent und zwei 10-Cent Stücke. Moritz zieht zufällig nacheinander drei Münzen aus dem Gefäß. Er teilt uns folgendes mit

(a)

ob die erste Münze eine 1-Cent Münze ist.

(b)

das Produkt der drei Münzen.
Wählen Sie eine geeignete Ergebnismenge, die alle auftretenden Ergebnisse beschreibt. Modellieren Sie die Menge der beobachtbaren Ereignisse abhängig von der uns von Moritz gegebenen Information (Aussage

(a)

bzw.

(b))

jeweils durch einen geeigneten Ereignisraum.

Bei der Ergebnismenge tue ich mir etwas schwieriger:
Würde folgendes funktionieren

Ω = {1,2,5,10} \times {1,2,10} \times {1,2},

damit hätte ich doch die Anzahl der 5 und

10

Cent Münzen beschränkt oder gibt das ein Problem bezüglich der Reihenfolge?

verbal wäre es ja einfach

Ω = {ω = (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) \in {1,2,5,10}^{3} :

"max. 1 Eintrag ist 5 und

max

. 2 Einträge sind 10"

}

aber das wird wohl nicht zugelassen werden.

(a)

und

(b)

sollten folgendermaßen richtig sein:

E_{1} = {ω \in Ω : ω_{1} = 1}

E_{2} = {ω \in Ω : 1 \leq ω_{1} \cdot ω_{2} \cdot ω_{3} \leq 500}

Bitte um kurzes Feedback meiner Lösungen und wie man den Ergebnisraum

Ω

anders hinschreiben könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:55 Uhr, 29.06.2020

"der gibt das ein Problem bezüglich der Reihenfolge?"

Ja, das wäre falsch.

"verbal wäre es ja einfach Ω={ω=(ω1,ω2,ω3)∈{1,2,5,10}3: "max. 1 Eintrag ist 5 und max. 2 Einträge sind 10"} aber das wird wohl nicht zugelassen werden"

Warum nicht?

N8eule

11:58 Uhr, 29.06.2020

Deine Aufgabenbeschreibung gibt auch noch Erklärungs- und Interpretationsnot, ob Moritz mit oder ohne Zurücklegen zieht.
Zumindest solltest du (wir) uns festlegen, wie wir das hier in onlinemathe verstehen wollen.

icefox01 aktiv_icon

12:37 Uhr, 29.06.2020

Danke für die Antworten.

@DrBoogie: Naja ich bin mir nicht sicher ob es bei der Klausur gefordert ist alles rein mathematisch anzugeben. Sollte ich keine andere Möglichkeit finden würde ich es natürlich einfach verbal angeben.
Könnte man das denn auch noch anders modellieren?

@N8eule: Da nichts in der Aufgabenstellung steht von "Zurücklegen", hätte ich angenommen, dass es ohne Zurücklegen ist.
Zumindest wäre es intuitiv so zu verstehen, dass wenn nacheinander etwas herausgenommen wird, es immer weniger Münzen im Gefäß werden.

Mit Zurücklegen wäre

Ω = {1,2,5,10}^{3},

das ist einfacher.

HAL9000

13:01 Uhr, 29.06.2020

Man kann den Grundraum auch bereits mit

Ω = {1, 2, 5, 10}^{3}

modellieren! Er muss ja nur alle Versuchsausgänge enthalten, die auftreten können, es gibt aber keine Vorschrift, dass alle darin enthaltenen Elemente wie z.B.

(1, 5, 5)

auch als Versuchsausgänge taugen! Das kann man dann über die Wahrscheinlichkeiten regeln, d.h.

P ({(1, 5, 5)}) = 0

.

Und laplacesch ist dieser Raum sowieso nicht, das wäre er aber auch bei genügend vielen 5- und 10-Cent-Münzen nicht.

icefox01 aktiv_icon

13:57 Uhr, 29.06.2020

Ja stimmt, das könnte ich dann auch über Wktn lösen.

Aber wenn ich jetzt

Ω = {1,2,5,10}^{3}

wählen würde, dann würden meine Mengen für die beobachtbaren Ereignisse für

(a)

und

(b)

nicht mehr passen oder?

Denn dort würden nach meiner Formulierung der Mengen auch das Tripel

(1,5,5)

drin sein, welches aber nicht beobachtbar ist.
Dann müsste ich diese Mengen abändern? Oder wie verhält sich das dann?

HAL9000

15:47 Uhr, 30.06.2020

Man muss hier sehr sorgfältig unterscheiden:

Das Ergebnis der Ziehung (= Elementarereignis bzw. Element von

Ω

) besteht aus einem Tripel dreier Augenzahlen.

Beobachtbare Ereignisse sind aber nur jene Teilmengen von

Ω

, die sich aus den Ergebnissen von (a) (b) ergeben.

So bedeutet z.B. das Ergebnis 20 bei (b) das Ereignis

{(1, 2, 10), (1, 10, 2), (2, 1, 10), (2, 10, 1), (10, 1, 2), (10, 2, 1), (2, 2, 5), (2, 5, 2), (5, 2, 2)}

.

Die Kombination "(a) richtig" mit "(b) 20" (entspricht Durchschnitt beider Ereignisse) ergibt dann das kleinere Ereignis

{(1, 2, 10), (1, 10, 2)}

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