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Erhaltungsgröße finden

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

cimbom64 aktiv_icon

20:55 Uhr, 15.10.2014

Hey Leute,

und zwar soll ich eine Erhaltungsgröße für die Differentialgleichung (d²x/dt²)+f(x)=0 in dem ich diese als ein System von zwei Gleichungen erster Ordnung betrachten soll. Ich hab letzteres so hingeschrieben:

y = \frac{d x}{d t}

dy/dt=d²x/dt²=-f(x)

Wie finde ich jetzt die Erhaltungsgröße? Danke schon mal im voraus...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

21:00 Uhr, 15.10.2014

Also aus

y ʺ + y = 0

soll irgendwie etwas in der Form

u ʹ + u = 0

werden ???

Verrat mir den Trick!

pleindespoir aktiv_icon

21:11 Uhr, 15.10.2014

Vielleicht ist das so gemeint:

\frac{d ² x}{d t ²} + f (x) = 0

\frac{d ² x}{d t ²} = - f (x)

\int \frac{d ² x}{d t ²} d t = \int - f (x) d t

\frac{d x}{d t} = F (x) + C_{1}

\int \frac{d x}{d t} d t = \int F (x) + C_{1} d t

x = ℱ (x) + C_{1} t + C_{2}

RedChrome aktiv_icon

00:04 Uhr, 16.10.2014

Stichwort: Hamiltonfunktion.

Finde eine Funktion

H : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \mapsto H (x, y)

, sodass

\frac{\partial H}{\partial y} = \frac{d x}{d t} = y

und

- \frac{\partial H}{\partial x} = \frac{d y}{d t} = - f (x)

Schau dir dann mal an was die Funktion entlang von Lösungen

(x (t), y (t))

deiner Differentialgleichungen macht

\frac{d}{d t} H (x (t), y (t))

cimbom64 aktiv_icon

15:40 Uhr, 16.10.2014

Nein pleindespoir,

ich hatte ja hingeschrieben wie es gemeint war. Ich glaube das war von mir bisschen unverständlich. Also ich reduziere die ursprüngliche Funktion in zwei Fuktionen erster Ordnung, nähmlich so:

Es gilt ja x"=-f(x)

Nun setze ich

y = x'

Nun leite ich

y

ab also: y'=x"

und es gilt ja x"=-f(x)

Also habe ich zwei Gleichungen erster Ordnung:

y = x'

und

y' = - f (x)

cimbom64 aktiv_icon

17:04 Uhr, 16.10.2014

Also ich weiss nicht so recht was ich mit der Hamiltonfkt genau machen soll :(

RedChrome aktiv_icon

17:34 Uhr, 16.10.2014

Hast du so eine Hamiltonfunktion gefunden? Gib sie doch dann mal an.

cimbom64 aktiv_icon

18:18 Uhr, 16.10.2014

Bei einem Pendel z.B:

dH/dy=dH/dp=p/m=x'=y

-dH/dx=-kx

mit H=p²/2m+kx²/2

also y=p/m und -f(x)=kx

RedChrome aktiv_icon

18:50 Uhr, 16.10.2014

Ja bei einem Pendel mag das schon stimmen, aber wie sieht es mit deiner Aufgabe aus? Du sollst ja zu deiner obigen Differentialgleichung eine solche Hamiltonfunktion finden.

Beispielsweise zu

\frac{\partial H}{\partial y} = y

wäre der Ansatz

H (x, y) = \int y d y

nicht verkehrt. Anschließend brauchst du noch die andere partielle Ableitung von

H

zu betrachten und dann die Ergebnisse passend zusammen bauen.

cimbom64 aktiv_icon

12:50 Uhr, 19.10.2014

Ich danke dir

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