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Erklärbär

Universität / Fachhochschule

Tags: umformung

Randolph Esser aktiv_icon

06:32 Uhr, 04.04.2026

Hallo !

Die Frage steht unten. Betrachte zunächst:

Seien

n \in ℕ_{> 0}, a_{k} \in ℝ

für alle

0 \leq k \leq n

und

m \in ℕ

. Dann gilt

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} m^{k} - \sum_{k = 0}^{n} a_{k} {(m - 1)}^{k}

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (m^{k} - \sum_{p = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ p \end{matrix}) {(- 1)}^{p} m^{k - p})

= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \sum_{p = 1}^{k} (\begin{matrix} k \\ p \end{matrix}) {(- 1)}^{p - 1} m^{k - p}

= \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k + 1} \sum_{p = 0}^{k} (\begin{matrix} k + 1 \\ p + 1 \end{matrix}) {(- 1)}^{p} m^{k - p} (I)

= \sum_{k = 0}^{n - 1} m^{k} \sum_{p = k}^{n - 1} a_{k + 1} {(- 1)}^{p - k} (\begin{matrix} p + 1 \\ p - k + 1 \end{matrix}) (I I)

.

Veranschaulichung der Gleichheit von

(I)

und

(I I) :

Für

n = 3 z . B

. ergibt sich mit

(I)

a_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) {(- 1)}^{0} m^{0}

+ a_{2} ((\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) {(- 1)}^{0} m^{1} + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) {(- 1)}^{1} m^{0})

+ a_{3} ((\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) {(- 1)}^{0} m^{2} + (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) {(- 1)}^{1} m^{1} + (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) {(- 1)}^{2} m^{0})

und mit

(I I)

m^{0} (a_{1} {(- 1)}^{0} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + a_{2} {(- 1)}^{1} (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) + a_{3} {(- 1)}^{2} (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}))

+ m^{1} (a_{2} {(- 1)}^{0} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + a_{3} {(- 1)}^{1} (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}))

+ m^{3} a_{3} {(- 1)}^{0} (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}),

also dasselbe.

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Nun die Frage:

Bei obiger Rechnung mit den Summen-Sigmas sind die ersten Schritte ja simpel.

Die Umformung von

(I)

(I I),

bei der die Summanden komplett umgeordnet/anders durchgezählt werden,

ist dann allerdings doch recht heftig,

es bleibt kein Stein auf dem anderen.

Hier fällt mir nichts besseres ein,

als eine Kontrollrechnung für kleines

n

(oben

n = 3)

nachzuliefern,

um die Korrektheit/das Schema nachvollziehbar zu machen.

Kann jemand irgendetwas beitragen (zusätzliche Rechenschritte, Erklärungen),

um den Schritt von

(I)

nach

(I I)

transparenter/plausibler zu gestalten ?

mathadvisor aktiv_icon

21:15 Uhr, 04.04.2026

chatGPT kann Dir das vorrechnen, sogar auf zwei Wegen. Zusammenfassung des ersten Weges:

1. Substitution j=k-p
2. Vertauschung der Summen
3. Anpassung der Summationsgrenzen
4. Symmetrie des Binomialkoeffizienten
5. j wieder durch k ersetzen

Randolph Esser aktiv_icon

21:35 Uhr, 04.04.2026

Ich hatte Dich doch gebeten,
auf meine Threads nicht zu antworten.
Und ich eröffne keinen Thread in einem Forum,
um mich dann auf KI verweisen zu lassen.
Ich habe ChatGPT noch nie verwendet
und das soll auch so bleiben.

mathadvisor aktiv_icon

21:40 Uhr, 04.04.2026

Dann schreibt's Dir vielleicht jemand aus chatGPT ab und sagt einfach, er hat's selbst gefunden. Dann wärst Du ja zufrieden und kannst Deine Prinzipien beibehalten.

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