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Erläuterung der Polynomial-, Multinomialverteilung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Multinomialverteilung, mündlich Abiturprüfung, Polynomialverteilung, Stochastik

anonymous

23:10 Uhr, 03.06.2014

Hallo!
Ich habe heute meine mündliche Prüfungsaufgabe bekommen und habe Schwierigkeiten mit dem Thema. Im Internet habe ich leider nichts gebräuchliches gefunden, deshalb hoffe ich auf eure Hilfe. :-)

Es wäre sehr nett und hilfreich, wenn mir jemand die Polynomial-, Multinomialverteilung erklären könnte, am besten auch gleich anhand eines Beispieles.

Danke schon mal im Voraus :-)
LG Kaytu

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

columkle1892 aktiv_icon

09:00 Uhr, 04.06.2014

Zunächst einmal bedeuten Multinomialverteilung und Polynomialverteilung das gleiche. Man könnte diese Verteilung als multivariaten Fall der Binomialverteilung auffassen.

Binomialverteilung:

In einer Urne befindet sich eine bestimmte Anzahl von Kugeln. Ein fester Anteil p dieser Kugleln hat eine bestimmte Farbe, z.B. rot. Es wird nun n-mal mit zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Von Interesse ist nun bspw. die Wahrscheinlichkeit, dass nach n Zügen genau 2 rote Kugeln gezogen wurden. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach:

P (X = x) = (\binom{n}{x}) \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n - x}

Multinomialverteilung:

In einer Urne befindet sich wieder eine bestimmte Anzahl von Kugeln. Ein fester Anteil

p_{1}

dieser Kugeln ist rot, ein fester Anteil

p_{2}

ist blau usw. Wieder wird n-mal mit zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Von Interesse ist nun beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass nach n Zügen 2 mal rot und 4 mal blau gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach:

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{k} = x_{k}) = \frac{n!}{x_{1}! \cdot x_{2}! \cdot \dots \cdot x_{k}!} \cdot p_{1}^{x_{1}} \cdot p_{2}^{x_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{x_{k}}

Dabei hat man k verschiedene Arten von Kugeln.

columkle1892 aktiv_icon

09:11 Uhr, 04.06.2014

Beispiel:

Ein Obstverkäufer erhält eine große Lieferung Obst. Der Anteil Obst mit guter Qualität beträgt 0,6, der Anteil Obst mit mittlerer Qualität beträgt 0,3 und der Anteil Obst mit schlechter Qualität 0,1.

Jetzt entnimmt der Verkäufer der Lieferung eine Stichprobe vom Umfang

n = 10

. Er möchte wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit der Stchprobe 6 Stück guter, 2 Stück mittlerer und 2 Stück schlechter Qualität entnimmt.

P (X_{1} = 6, X_{2} = 2, X_{3} = 2) = \frac{10!}{6! \cdot 2! \cdot 2!} \cdot 0, 6^{6} \cdot 0, 3^{2} \cdot 0, 1^{2} = 0, 0529

anonymous

09:59 Uhr, 04.06.2014

Vielen Dank , das hat mir soweit wirklich weiter geholfen.

anonymous

17:36 Uhr, 04.06.2014

Weißt du vielleicht auch wie man aus der Formel für die Multinomialverteilung, Erwartungswert und Varianz herleiten kann ?

columkle1892 aktiv_icon

17:43 Uhr, 04.06.2014

Die Angabe von Erwartungswert und Varianz macht für die Multinomialverteilung nicht viel Sinn. Statt dessen gibt man die folgenden Erwartungswerte und Varianzen an:

E [X_{1}] = n \cdot p_{1}

E [X_{2}] = n \cdot p_{2}

\dots

E [X_{k}] = n \cdot p_{k}

V a r [X_{1}] = n \cdot p_{1} \cdot (1 - p_{1})

V a r [X_{2}] = n \cdot p_{2} \cdot (1 - p_{2})

\dots

V a r [X_{k}] = n \cdot p_{k} \cdot (1 - p_{3})

Dabei sind die einzelnen

X_{i}

(

i = 1, \dots, k

) binomialverteilt:

X_{i} \sim B (n, p_{i}) \forall

i = 1, \dots, k

Der Erwartungswert der binomialverteilung berechnet sich durch:

E [X] = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot (\binom{n}{x}) \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n - x}

Nach einigen, teilweise trickreichen Umformungen, kommt man auf die bekannte Formel

anonymous

18:10 Uhr, 04.06.2014

Meine Aufgabe lautete:
"Leiten Sie Erwartungswert und Varianz für die Polynomialverteilung her ".
Reicht das also, wenn ich nur die von dir genannten Erwartungswerte und Varianzen nenne?

columkle1892 aktiv_icon

21:11 Uhr, 04.06.2014

Wie schon gesagt, machen bei der Multinomialverteilung nur die besagten Erwartungswerte Sinn. Die Herleitung dazu findest du u.a. auf Wikipedia unter dem Stichwort Binomialverteilung.

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