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Ermitteln ob sich gesuchte Koordinate in der Ebene

Schüler

Tags: Vektor

 
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verano68

verano68 aktiv_icon

19:55 Uhr, 25.03.2020

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Ermitteln sie, ob es ein t gibt, so dass die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimmen Sie ggf. dieses t. A(8|-7|4)B(9|5|-1)C(0|0|6)D(-1|-2|t).


Leider hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich das rechnen soll.

Im Internet finde ich irgendwie auch nichts. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir die ganze Aufgabe erklärt und eventuell vorrechnet, ich muss sowieso andere Zahlen später verwenden. Danke im Voraus! :-)


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
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20:31 Uhr, 25.03.2020

Antworten
z.B.
Drei Punkte definieren i.d.R. in 3 eine Ebene
Erstelle mittels A,B und C die Gleichung der Ebene.
Ein Punkt liegt auf der Ebene, wenn seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen.

( Alternative : Lineare Abhängigkeit )
verano68

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20:48 Uhr, 25.03.2020

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Das hilft mir irgendwie nicht weiter..
Ich habe eine Parameterdarstellung mit den drei Punkten aufgestellt.
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20:49 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Du hast die Gleichung der Ebene erstellt. Wie sieht sie aus ?
verano68

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21:03 Uhr, 25.03.2020

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So sieht sie aus:

e:x= (8∣-7∣4)+r(1∣12∣-5)+s(-8∣7∣2)
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21:09 Uhr, 25.03.2020

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Korrekt !
Wenn du nun für x die Werte für D einsetzt, dann muss die Ebenengleichung erfüllt sein.
Also
(-1-2t)=(8-74)+r(112-5)+s(-872)
verano68

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21:13 Uhr, 25.03.2020

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und wie komme ich auf t?
Antwort
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21:15 Uhr, 25.03.2020

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Daraus läßt sich ein LGS für r,s und t ableiten.
-1=8+r1+s(-8)
-2=-7+r12+s7
t=4+r(-5)+s2
verano68

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21:32 Uhr, 25.03.2020

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Habe ich mir aufgeschrieben.. Komme trotzdem noch nicht so ganz mit sorry.
Wie löse ich denn jetzt nach t auf?
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21:34 Uhr, 25.03.2020

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Du hast 3 Gleichungen für r,s und t.
Was würdest du machen ?
verano68

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21:36 Uhr, 25.03.2020

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Eine Matrix aufstellen?
Antwort
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21:37 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Der triviale Weg wäre :r,s und t einfach ausrechnen.
Beachte aber :
"Ermitteln sie, OB es ein t gibt, so dass die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen Ebene liegen"
Du musst eigentlich nur zeigen, dass ein t existiert, es aber nicht ausrechnen.
verano68

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21:50 Uhr, 25.03.2020

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und wie stell ich das an?
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21:51 Uhr, 25.03.2020

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"und wie stell ich das an?"
Was meinst du damit genau ?
verano68

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21:52 Uhr, 25.03.2020

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Naja ich kann r und s ja nicht einfach weglassen..
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21:56 Uhr, 25.03.2020

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Du hast 3 Gleichungen für r,s und t.
Wenn du r,s und t ausrechnen willst - Verwende deine Lieblingsmethode (z.B. Komparationsmethode, Substitutionsmethode, Eliminationsmethode, Gauss, Cramersche Regel .. )
Bekommst du explizite Werte, ist die Frage beantwortet.
Aber es geht natürlich einfacher.

( Und ich sehe soeben, dass du t doch bestimmen sollst. )
Antwort
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22:18 Uhr, 25.03.2020

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Also - die Gleichungen etwas kompakter aufgeschrieben:
r-8s=-9
12r+7s=5
-5r+2s=t-4

Die 1. und die 2. Gleichung enthält kein t, es können also r und s bestimmt werden. r=-23103 und s=113103

Setzt man diese Werte in die dritte Gleichung ein, so erhält man t=753103.

Wenn es keine weiteren Fragen mehr gibt, das Beispiel als erledigt "abhaken".
Frage beantwortet
verano68

verano68 aktiv_icon

22:31 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Vielen Dank!
Antwort
Stephan4

Stephan4

01:47 Uhr, 26.03.2020

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Kann auch mit dem aufgespannten Volumen gelöst werden, das ja in diesem Fall Null sein soll. So ist zumindest t zu wählen.

Welcher Weg schneller oder besser ist, ist Geschmacksache. Beide führen zum Ziel.

Dieses Volumen wird mit dem Spatprodukt berechnet:

de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

V=(a×b)c=0

a = B-A = (95-1)-(8-74)=(112-5)

b = C-A = (006)-(8-74)=(-872)

c = D-A = (-1-2t)-(8-74)=(-95t-4)

0 = ((112-5)×(-872))  (-95t-4) = (5938103)  (-95t-4)
0 = -753+103t Selbes Ergebnis wie von Respon.