 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Erneut involutorische Bewegung
Erneut involutorische Bewegung
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung
 
|
  |
|---|
|
Es seien ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, 2 ≤ ∞, und sp(b) eine Gerade von (mit . Die Abbildung SG: SG(x) – × – heißt Geradenspiegelung an G. Zeigen Sie: SG ist eine involutorische Bewegung von jede involutorische orthogonale Abbildung von ist symmetrisch, jede involutorische Bewegung von die genau die Punkte von als Fixpunkte hat, ist gleich der Geradenspiegelung SG an Hinweis: Lösen Sie zuerst für den Fall, dass durch Null geht, also oBdA ist erstmal zu Ich weiß für involutorisch muss ich zeigen SG SG = id und für Bewegung muss ich zeigen mit d(SG(u), SG(v)) für alle ∈ aber irgendwie habe ich mit SG so meíne Probleme und weiß überhaupt nicht was da passiert wenn ich da Sachen einsetze Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo, was passiert, kann man nur durch ausrechnen feststellen. Wenn Dir das zu komplex ist, kannst Du ja mal zur Abkürzung SG setzen und dann SG ausrechnen. Gruß pwm |
|
|
|
Hallo, vielleicht nützt dir zum Verständnis, was da passiert, die angehängte (recht dürftige) Skizze für , die die geometrischen Verhältnisse in der -Ebene darstellt. Überhaupt kannst du dir ja auch überlegen, dass man die Abbildung mit einer Translation auf den Fall (Abbildung SG_0) zurückführen kann, so dass ist. Gruß ermanus  |
 |
|
Vielen Dank, mit dem Trick das Skalarprodukt einfach als zsmzufassen ging es dann sehr einfach also |
|
|
|
Vielen Dank, dass Du dir die Mühe gemacht hast eine Skizze zu machen, das hat mir auf jeden Fall geholfen jetzt versuche ich mich an der |
|
|
|
wobei mir bei irgendwie nicht einfällt, wo ich anfangen muss kann ich da so argumentieren, dass die Abbildungsmatrix ergeben muss da ja orthogonal und ich weiß ja auch da es eine involutorische Abbildung ist dass darf ich dass auch SGoSG folgern?) und somit insgesamt ist also symmetrisch? |
|
|
|
In b) wird gar kein Bezug auf genommen, sondern hier wird nur von einer involutorischen orthogonalen (linearen) Abbildung gesprochen, deren Matrix bzgl. einer Basis sein möge. Dein Argument ist also schlüssig: orthogonal involutorisch , also . Da invertierbar: . Wie sieht es mit c) aus ? ;-) |
|
|
|
okay,vielen Dank mit der habe ich leider noch Probleme, wobei ich die Vermutung habe,dass mir die Skizze dabei auch hilft? |
|
|
|
Zu c) ist garnicht so schwierig, wenn man zunächt mal den Fall betrachtet. 1. es ist zu zeigen, dass die Vektoren, die die Gerade bilden, unter fix bleiben. Hierzu nimmst du dir ein und rechnest nach, dass gilt . 2. du musst zeigen, dass jeder Fixpunkt von in liegt, d.h. du musst zeigen: . Gruß ermanus |
|
|
|
vielen Dank, dass ist mir schon um einiges klarer geworden, jedoch stehe ich gerade auf dem Schlauch bei: 2<λb,b>b−λb=λb dass kann ich doch durch die Homogenität im 1. Argument des Skalarproduktes schreiben als 2λ<b,b>-λb aber ist doch nicht oder? wie zeigen ich denn die letzte Implikation, also dass in sp(b) ist ? Und muss ich, dass ganze dann noch zeigen, falls a ungleich 0 ist? Und das mache ich dann genauso? |
|
|
|
Hallo, erst mal auf die Schnelle: ; denn nach Voraussetzung ist . Zum anderen Problem melde ich mich später wieder ... Gruß ermanus |
|
|
|
Man ich habe mich gerade so geärgert, weil ich eben in diesem Moment gemerkt habe, dass ich die Bedingung für vergessen habe Vielen Dank und einen schönen Abend |
|
|
|
"wie zeigen ich denn die letzte Implikation, also dass x in sp(b) ist ? ": Sei Dann folgt . Sieht man da nicht so ganz zufällig ;-) ein geeignetes , so dass , also ist? Gruß ermanus |
|
|
|
Ergibt sinn? Oder habe ich jetzt Quatsch geschlussfolgert |
|
|
|
Siehst du das wirklich nicht? ist das -fache von . Was ist dann wohl das ? |
|
|
|
also ? |
|
|
|
Klar! Du willst doch zeigen, dass in dem von erzeugten Unterraum liegt, also ein Vielfaches von ist, und ist doch ganz offensichtlich ein solches Vielfaches. |
|
|
|
Manchmal sieht man die offensichtlichen Sachen nicht, dankeschön Das war ja jetzt der Fall für muss ich denn jetzt, das ganze nochmal für den Fall betrachten, dass ist oder diskutiere ich das durch das oBdA weg? |
|
|
|
oBdA wäre natürlich superbequem ;-) Ich erinnere dich aber an meinen Beitrag vom 11.9. 11:53 Uhr, wo ich von einer Translation spreche, die den "lästigen" Vektor in den Ursprung verschiebt. , . Dann siehst du, dass für das allgemeine mit gilt: , wobei ist. Darauf kannst du dich berufen. |
 |
|
Alles klar, Vielen Dank |
1480097
1479849