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Erneut involutorische Bewegung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
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shiroxx

shiroxx aktiv_icon

20:30 Uhr, 10.09.2019

Antworten
Es seien (V,<,>) ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, 2 ≤ n< ∞, und
G=a+ sp(b) eine Gerade von V (mit a,bV,|b|=1). Die Abbildung
SG: VV, SG(x) =2<xa,b> × bx+2a
heißt Geradenspiegelung an G. Zeigen Sie:
(a) SG ist eine involutorische Bewegung von V,
(b) jede involutorische orthogonale Abbildung von V ist symmetrisch,
(c) jede involutorische Bewegung von V, die genau die Punkte von G als
Fixpunkte hat, ist gleich der Geradenspiegelung SG an G,
Hinweis: Lösen Sie (c) zuerst für den Fall, dass G durch Null geht, also oBdA a=0 ist

erstmal zu a)

Ich weiß für involutorisch muss ich zeigen SG o SG = id

und für Bewegung muss ich zeigen mit d(SG(u), SG(v)) =d(u,v)
für alle u,vV

aber irgendwie habe ich mit SG so meíne Probleme und weiß überhaupt nicht was da passiert wenn ich da Sachen einsetze

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

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10:20 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Hallo,

was passiert, kann man nur durch ausrechnen feststellen. Wenn Dir das zu komplex ist, kannst Du ja mal zur Abkürzung s=<x-a,b>,y= SG (x)=2sb-x+2a setzen und dann SG (y) ausrechnen.

Gruß pwm
Antwort
ermanus

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11:53 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Hallo,
vielleicht nützt dir zum Verständnis, was da passiert, die
angehängte (recht dürftige) Skizze für a=0,
die die geometrischen Verhältnisse in der x,b-Ebene darstellt.
Überhaupt kannst du dir ja auch überlegen, dass man die Abbildung
SG mit einer Translation τ auf den Fall a=0 (Abbildung SG_0) zurückführen kann,
so dass SG=τ-1SG0τ ist.
Gruß ermanus

spiegelung
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

12:33 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Vielen Dank, mit dem Trick das Skalarprodukt einfach als s zsmzufassen ging es dann sehr einfach also a)
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

12:35 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Vielen Dank, dass Du dir die Mühe gemacht hast eine Skizze zu machen, das hat mir auf jeden Fall geholfen jetzt versuche ich mich an der b)
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

12:47 Uhr, 11.09.2019

Antworten
wobei mir bei b) irgendwie nicht einfällt, wo ich anfangen muss kann ich da so argumentieren, dass die Abbildungsmatrix AAT=I ergeben muss da ja orthogonal und ich weiß ja auch da es eine involutorische Abbildung ist dass AA=I( darf ich dass auch SGoSG folgern?) und somit insgesamt A=AT ist also symmetrisch?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:53 Uhr, 11.09.2019

Antworten
In b) wird gar kein Bezug auf SG genommen, sondern hier wird nur
von einer involutorischen orthogonalen (linearen) Abbildung gesprochen, deren Matrix
bzgl. einer Basis A sein möge. Dein Argument ist also schlüssig:
A orthogonal AAT=I
A involutorisch AA=I, also AAT=AA. Da A invertierbar: A=AT.
Wie sieht es mit c) aus ? ;-)
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

18:43 Uhr, 11.09.2019

Antworten
okay,vielen Dank
mit der c) habe ich leider noch Probleme, wobei ich die Vermutung habe,dass mir die Skizze dabei auch hilft?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

00:10 Uhr, 12.09.2019

Antworten
Zu c)
ist garnicht so schwierig, wenn man zunächt mal den Fall a=0
betrachtet.
1. es ist zu zeigen, dass die Vektoren, die die Gerade bilden,
unter SG fix bleiben. Hierzu nimmst du dir ein λbsp(b)
und rechnest nach, dass gilt 2<λb,b>b-λb=λb.
2. du musst zeigen, dass jeder Fixpunkt von SG in sp(b) liegt,
d.h. du musst zeigen:
2<x,b>b-x=xxsp(b).
Gruß ermanus
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

19:41 Uhr, 13.09.2019

Antworten
vielen Dank, dass ist mir schon um einiges klarer geworden, jedoch stehe ich gerade auf dem Schlauch bei: 2<λb,b>b−λb=λb dass kann ich doch durch die Homogenität im 1. Argument des Skalarproduktes schreiben als 2λ<b,b>-λb aber <b,b> ist doch nicht b, oder?


wie zeigen ich denn die letzte Implikation, also dass x in sp(b) ist ?

Und muss ich, dass ganze dann noch zeigen, falls a ungleich 0 ist?
Und das mache ich dann genauso?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:00 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Hallo,
erst mal auf die Schnelle:
<b,b>b=b; denn nach Voraussetzung ist b=1.
Zum anderen Problem melde ich mich später wieder ...
Gruß ermanus
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

20:01 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Man ich habe mich gerade so geärgert, weil ich eben in diesem Moment gemerkt habe, dass ich die Bedingung für b vergessen habe

Vielen Dank und einen schönen Abend
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:10 Uhr, 13.09.2019

Antworten
"wie zeigen ich denn die letzte Implikation, also dass x in sp(b) ist ? ":
Sei 2<x,b>bx=x. Dann folgt x=<x,b>b.
Sieht man da nicht so ganz zufällig ;-) ein geeignetes λ, so dass
x=λb, also xsp(b) ist?
Gruß ermanus
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

21:47 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Ergibt λ=1 sinn? Oder habe ich jetzt Quatsch geschlussfolgert
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:50 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Siehst du das λ wirklich nicht?
x ist das <x,b>-fache von b. Was ist dann wohl das λ?
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.09.2019

Antworten
also λ=<x,b>?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:10 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Klar! Du willst doch zeigen, dass x in dem von b erzeugten Unterraum liegt, also
ein Vielfaches von b ist, und <x,b>b ist doch ganz offensichtlich ein
solches Vielfaches.
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

22:14 Uhr, 13.09.2019

Antworten
Manchmal sieht man die offensichtlichen Sachen nicht, dankeschön

Das war ja jetzt der Fall für a=0
muss ich denn jetzt, das ganze nochmal für den Fall betrachten, dass a0 ist oder diskutiere ich das durch das oBdA weg?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:31 Uhr, 13.09.2019

Antworten
oBdA wäre natürlich superbequem ;-)
Ich erinnere dich aber an meinen Beitrag vom 11.9. 11:53 Uhr,
wo ich von einer Translation τ spreche, die den "lästigen"
Vektor a in den Ursprung verschiebt.
τ(x)=x-a, τ-1(x)=x+a.
Dann siehst du, dass für das allgemeine SG mit a gilt:
SG(x)=τ-1(SG0(τ(x))), wobei
SG0(x)=2<x,b>b-x ist.
Darauf kannst du dich berufen.

Frage beantwortet
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.09.2019

Antworten
Alles klar, Vielen Dank