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Erniedrigung der Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Wolle9 aktiv_icon

16:39 Uhr, 03.12.2009

Hab hier ne aufgabe, bei der ich nich richtig weiter komm. Also:

In der Differentialgleichung x²y''-(y')²=0 kommt die abhängige Variable

y

selbst nicht vor. Überführen sie die gleichung mit hilfe der Substitution

u = y'

und

u' = y''

in eine Differentialgleichung 1. Ordnung für

u

und lösen Sie diese durch Trennung der Variablen. Berechnen Sie anschliesend die allgemeine Lösung

y = y (x)

der Ursprünglichen Differentialgleichung.

Das klingt irgendwie erstma garnich so schwer. ich kapiers trotzdem nich. Kann mir jemand weiter helfen? Ich hab auch en Großes buch von der Uni. Unter welchem Stichounkt könnte ich denn sowas mit erklärung finden?
MfG Wolle

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

16:55 Uhr, 03.12.2009

Überführen sie die gleichung mit hilfe der Substitution u=y' und u'=y'' in eine Differentialgleichung 1. Ordnung

kannst du das?

Wolle9 aktiv_icon

17:00 Uhr, 03.12.2009

x²y''-(y')²=0

\to

x²u'-u²=0

Stimmts? aber weiter komm ich da jetzt auch nich

pleindespoir aktiv_icon

17:05 Uhr, 03.12.2009

ok - jetzt einsetzen ...

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17:07 Uhr, 03.12.2009

Wie einsetzten? Ich dacht trennung der variablen?

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17:21 Uhr, 03.12.2009

wie sieht die Gleichung nach der Substitution aus?

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17:26 Uhr, 03.12.2009

nich so wei ich oben geschrieben hab?

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17:30 Uhr, 03.12.2009

Ist richtig wie Du das oben gemacht hast - war eben bei mir nicht zu sehen - keine Ahnung warum.

Wolle9 aktiv_icon

17:32 Uhr, 03.12.2009

achso...alles klar...und wie gehts jetzt weiter?

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17:40 Uhr, 03.12.2009

x ² u ʹ - u ² = 0

x ² \frac{d u}{d x} = u ²

x ² \cdot d u = u ² d x

u^{- 2} \cdot d u = x^{- 2} d x

\int u^{- 2} d u = \int x^{- 2} d x

Vorschlag ohne Gewähr auf Richtigkeit und Vollständigkeit!

Wolle9 aktiv_icon

17:42 Uhr, 03.12.2009

Die Aufgabe geht noch weiter. Wird das in den nachfolgenden Teilen auch so gemacht?

pleindespoir aktiv_icon

17:48 Uhr, 03.12.2009

Teil a) hast du noch nicht fertig berechnet!

da wartet noch ein wenig auf uns ...

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17:52 Uhr, 03.12.2009

warum wird das auf einmal zu

u^{- 2}

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18:06 Uhr, 03.12.2009

un wei geht es eigentlich weiter?

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18:15 Uhr, 03.12.2009

kann mir denn da keiner helfen?

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18:22 Uhr, 03.12.2009

Kehrwert einer Potenz!

a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}

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18:26 Uhr, 03.12.2009

ah...alles klar...und wie gehts sonst weiter?

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18:40 Uhr, 03.12.2009

die Integrale berechnen

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19:08 Uhr, 03.12.2009

\frac{u^{- 1}}{- 1} = \frac{x^{- 1}}{- 1}

stimmt das für das erste?

und jetzt?

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19:26 Uhr, 03.12.2009

fürs erste ... die Integrationskonstante fehlt, weil es ja unbestimmte Integrale sind und ein wenig Vereinfachen wäre auch recht nett.

Wolle9 aktiv_icon

19:46 Uhr, 03.12.2009

\frac{u^{- 1}}{- 1} + c 1 = \frac{x^{- 1}}{- 1} + c 2

was kann man da denn jetzt noch machn?

pleindespoir aktiv_icon

19:49 Uhr, 03.12.2009

Kehrwert einer Potenz!

a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}

und die geteilt durch (-1) muss auch nicht sein.

die beiden integrationskonstanten lassen sich zusammenfassen:

C = c_{2} - c_{1}

und es genügt das C nur auf einer Seite mitzuschleifen.

Wolle9 aktiv_icon

20:09 Uhr, 03.12.2009

\frac{1}{u^{1}} = \frac{1}{x^{1}} + C

stimmt das?

pleindespoir aktiv_icon

20:20 Uhr, 03.12.2009

Schön. Hoch eins kann man sich eigentlich auch noch schenken ...

Jetzt löse nach u auf ...

Wolle9 aktiv_icon

22:20 Uhr, 03.12.2009

\frac{1}{u} x = 1 + c

x = \frac{1}{u} + c

is richtig?

pleindespoir aktiv_icon

00:18 Uhr, 04.12.2009

\frac{1}{u} = \frac{1}{x} + C ∣ * u x

\frac{u x}{u} = \frac{u x}{x} + C u x

x = u + C u x

x = u (1 + C x)

u = \frac{x}{1 + C x}

Du hast nach x aufgelöst - das brauchen wir aber nicht - wir brauchen ja die Funktion u.

Jetzt die Rücksubstitution!

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