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Ersetzen einer Integrationsvariable

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ersetzen, Integration, Variable

Sommer123 aktiv_icon

10:27 Uhr, 07.12.2022

Hallo,

ich habe eine Gleichung:

ln (\frac{p (t)}{p_{0}}) = \int_{T_{0}}^{T (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{T} d T

Zusätzlich gibt es diese gleichung:

p V = R T

Nun möchte ich das Integral umstellen, dass ich über

V

integriere.

Mein Ansatz war:

d (p V) = d (R T)

p d V + V d p = R d T

(R =

const. )

\frac{p}{R} d V + \frac{V}{R} d p = d T

Daraus folgt:

ln (\frac{p (t)}{p_{0}}) = \int_{T_{0}}^{T (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{T} d T = \int_{V_{0}}^{V (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{T} (\frac{p}{R} d V + \frac{V}{R} d p)

= \int_{V_{0}}^{V (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{T} \frac{p}{R} d V + \int_{V_{0}}^{V (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{T} \frac{V}{R} d p

mit

\frac{p}{R T} = \frac{1}{V}

und

\frac{V}{R T} = \frac{1}{p}

(von Gleichung

2)

ergibt sich

ln (\frac{p (t)}{p_{0}}) = \int_{V_{0}}^{V (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{V} d V + \int_{V_{0}}^{V (t)} \frac{c_{p} (T)}{R} \frac{1}{p} d p

Gerne würde ich wissen, ob das soweit stimmen kann, oder ob ich auf dem falschen Weg bin? Ab hier komme ich nicht richtig weiter.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Einführung Funktionen

HAL9000

12:15 Uhr, 07.12.2022

1. Beim letzten Integral integrierst du über

p

, das sollte dann von den Integrationsgrenzen dann auch eher

\int_{p_{0}}^{p (t)}

sein!

2. Problematisch ist das

c_{p} (T)

in beiden Integralen: Denn das ist ja vermutlich keine konstante Funktion, und

T

hängt implizit von

p

bzw.

V

ab: Zwar weiß man

T = \frac{p V}{R}

, kennt aber ohne genauere Kenntnis der Zustandsänderung nicht die funktionalen Zusammenhänge

T = T (V)

sowie

T = T (p)

. Daher dürfte die Auswertung der Integrale ohne dieses Kenntnisse schwierig werden...

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