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# Ersetzen einer Integrationsvariable

## Tags: Ersetzen, Integration, Variable

10:27 Uhr, 07.12.2022

Hallo,

ich habe eine Gleichung:
$ln\left(\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}\right)={\int }_{{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

Zusätzlich gibt es diese gleichung:
$p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

Nun möchte ich das Integral umstellen, dass ich über $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ integriere.

Mein Ansatz war:
$\text{d}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=\text{d}\left(R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
$p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\text{d}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\text{d}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\text{d}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$
$\left(R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=$ const. )

$\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+\frac{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\text{d}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

Daraus folgt:
$ln\left(\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}\right)={\int }_{{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}={\int }_{{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+\frac{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
$={\int }_{{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+{\int }_{{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

mit $\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=\frac{1}{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ und $\frac{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=\frac{1}{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ (von Gleichung $2\right)$ ergibt sich

$ln\left(\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}\right)={\int }_{{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+{\int }_{{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\frac{{c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\frac{1}{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\text{d}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

Gerne würde ich wissen, ob das soweit stimmen kann, oder ob ich auf dem falschen Weg bin? Ab hier komme ich nicht richtig weiter.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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12:15 Uhr, 07.12.2022

1. Beim letzten Integral integrierst du über $p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$, das sollte dann von den Integrationsgrenzen dann auch eher ${\int }_{{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}}^{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}$ sein!

2. Problematisch ist das ${c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ in beiden Integralen: Denn das ist ja vermutlich keine konstante Funktion, und $T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ hängt implizit von $p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ bzw. $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ ab: Zwar weiß man $T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\frac{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$, kennt aber ohne genauere Kenntnis der Zustandsänderung nicht die funktionalen Zusammenhänge $T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ sowie $T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$. Daher dürfte die Auswertung der Integrale ohne dieses Kenntnisse schwierig werden...

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