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Erste und Zweite partielle Ableitung mit arctan

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

Benny1186 aktiv_icon

22:14 Uhr, 22.06.2011

Hallo,

sitzte hier gerade an den partiellen Ableitungen von folgenden Aufgaben und bin mir nicht wirklich sicher ob ich es richtig mache bzw. wie diese partiell Abzuleiten sind.

Es sollen jeweils die erste und zweite partielle Ableitung gemacht werden sowie die kreuzungs Ableitung.

a.) f(x,y)= $\arctan (\frac{x}{y})$

b.) $f (x, y, z) = x e^{\frac{x y}{z}}$

c.) $f (x, y, z) = x \sin (y z)$

d.) $f (x, y) = \cos (x) \cos (y)$

Über hilfe wäre ich sehr dankbar.

Gruß Benny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Yokozuna aktiv_icon

00:28 Uhr, 23.06.2011

Hallo,

ich gebe Dir mal die ersten Ableitungen vor.

a)

Die Ableitung von arctan(x) ist

\frac{1}{1 + x^{2}}

. Deshalb ist mit der Kettenregel

f_{x} = \frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2}}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{2}}{y^{2} + x^{2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

f_{y} = \frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) = \frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2}}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) = \frac{y^{2}}{y^{2} + x^{2}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) = \frac{- x}{x^{2} + y^{2}}

b)

f_{x} = 1 \cdot e^{\frac{x \cdot y}{z}} + x \cdot e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot \frac{y}{z} = e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot (1 + \frac{x \cdot y}{z}) = e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot (\frac{z + x \cdot y}{z})

f_{y} = x \cdot e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot \frac{x}{z} = e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot (\frac{x^{2}}{z})

f_{z} = x \cdot e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot (- \frac{x \cdot y}{z^{2}}) = - e^{\frac{x \cdot y}{z}} \cdot (\frac{x^{2} \cdot y}{z^{2}})

c)

f_{x} = sin (y \cdot z)

f_{y} = x \cdot cos (y \cdot z) \cdot z = x \cdot z \cdot cos (y \cdot z)

f_{z} = x \cdot cos (y \cdot z) \cdot y = x \cdot y \cdot cos (y \cdot z)

d)

f_{x} = - sin (x) \cdot cos (y)

f_{y} = - cos (x) \cdot sin (y)

Viele Grüße
Yokozuna

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