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Erstellen Sie eine darstellende Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

c4-b4 aktiv_icon

15:46 Uhr, 04.08.2021

Hallo zusammen,

nach vielen nachlesen habe ich immer noch nicht verstanden, was ich hier machen soll. Kann mir bitte jemand helfen?

Gegeben sei ein Vektorraumhomomorphismus

F

mit:

F :

[

x]<=3

\to

[

x]<=2

p \to p' + p''

a)

Berechnen Sie

F (x^{3} + x 2 + x + 1)

.

Meine LSG:

3 x^{2} + 8 x + 2

b)

Erstellen Sie die darstellende Matrix M^O_A(F) bezüglich den Basen

O = {1, x, x^{2}, x^{3}}

und

A = {1, x, x^{2}}

.

Meine LSG: Gar keine Idee... Bräuchte ich nicht Vektoren dafür?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

15:57 Uhr, 04.08.2021

hallo
ich hab für

p' + p'' 3 x^{2} + 8 x + 3

raus. rechne nach!

b)

bilde die Basisvektoren ab.
1 wird auf 0 abgebildet,

x

auf

1, x^{2}

auf

2 x + 2

damit ist die erste Spalte nur Nullen, die zweite Spalte

{(1,0,0,0)}^{T}

die dritte

{(2,2,0,0)}^{T}

jetzt du die 2 letzten Spalten der Matrix.
Gruß lul

michaL aktiv_icon

16:15 Uhr, 04.08.2021

Hallo,

> Bräuchte ich nicht Vektoren dafür?

Äh, hast du die nicht?
Um die Frage qualifiziert beantworten zu können, musst du natürlich wissen, was Vektoren sind.
Einzig qualifizierte Antwort: Elemente eines Vektorraums!

Ok, um ledums Lösungsvorschlag anzureichern: Du könntest die Vektorräume

ℝ [x]_{\leq 3}

und

ℝ [x]_{\leq 2}

koordinatisieren. (Das ist es vermutlich, was du unter Vektoren verstehst.)

Eine Koordinatisierung ist eine Abbildung von eines

K

-Vektorraums

V

der Dimension

n

ist eine bijektive lineare Abbildung

V \to K^{n}

.

Welche Abbildung ist zweitrangig. Eine solche Abbildung ist z.b. durch die Angabe der Bilder auf einer Basis festgelegt.
Du könntest etwa im Falle

ℝ [x]_{\leq 3}

die genannte Basis

{1, x, x^{2}, x^{3}}

abbilden auf die Standardbasis

{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}}

, sodass ein Polynom

a x^{3} + b x^{2} + c x + d \in ℝ [x]_{\leq 3}

mit dem Spaltenvektor

(\begin{array}{c} d \\ c \\ b \\ a \end{array})

"identifiziert" wird.

Wenn du das für beide Vektorräume

ℝ [x]_{\leq 3}

und

ℝ [x]_{\leq 2}

passend durchführst, hast du deine Spaltenvektoren und kannst arbeiten, wie du es gewohnt bist.

Mfg Michael

c4-b4 aktiv_icon

17:11 Uhr, 04.08.2021

Erstmal vielen Dank! Ich versuche es mal. Da

x^{3}

auf

3 x^{2} + 6 x

abbildet, ist die vierte Spalte

{(0,6,3,0)}^{T},

oder? Gibt es noch eine Weitere? Es gibt doch nur 4 verschiedene Werte?

ledum aktiv_icon

23:56 Uhr, 04.08.2021

Hallo
ja, die letzte Spalte ist so richtig.
ledum

c4-b4 aktiv_icon

07:22 Uhr, 05.08.2021

Vielen Dank :-)

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