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Erstellen von Funktionsgleichung

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Funktionen

Tags: Funktion, gebrochen-rational, Gebrochen-rationale Funktionen, Gebrochenrationale Funktion, Nullstell, Polstelle

shadow4862 aktiv_icon

16:27 Uhr, 24.04.2018

Hallo, ich benötige Hilfe bei 2 Aufgaben.

Durch welche Gleichung lässt sich die Funktion beschreiben:

a)

eine gebrochen rationale Funktion besitzt an der Stelle

x 1 = - 2

und

x 2 = 5

einfache Nullstellen. Pole erster Ordnung befinden sich bei

x 3 = 0

und

x 4 = 6 -

Für

x \pm

∞ nähert sich die Funktion asymptotisch

y = - 2

b)

eine gebrochen rationale Funktion besitzt an den Stellen

x 1 = 2

und

x 2 = - 1

einfach Nullstellen. Pole befinden sich bei

x 3

und

x 4 = 1

(2te Ordnung) und

x 5 = 4

(erster Ordnung). Außerdem wird die y-Achse beim Wert 3 geschnitten.

Die Begriffe sind mir klar, aber ich habe gar keine Ahnung wie ich Aufgaben diesen Typus angehen soll. Im Buch und im Internet habe ich auch nichts gefunden. Bitte helft mir, damit ich ein weiteres kleineres Erfolgserlebnis habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

17:30 Uhr, 24.04.2018

.
"a) eine gebrochen rationale Funktion ..

hm .. sind irgendwelche Grundkenntnisse vorhanden ?

zB:

\to

wie sieht der Funktionsterm einer gebrochen rationalen Funktion im Prinzip aus?

f (x) = . .

\to

wann kann es nur Nullstellen geben ?

\to

woran siehst du, wann/dass es Pole hat ?

usw..
mach mal soweit, und schon wirst du dir ein neues kleines Erfolgserlebnis erarbeiten:

\to ...

.

nebenbei:
" .. ich ein weiteres kleineres Erfolgserlebnis habe. "
ein Weiteres?
.. in welchen Vorlesungen hast du dein Schattendasein denn schonmal versuchsweise erhellt?

und zum Schluss noch ein Tipp:
um den Geheimnissen gebrochen rationaler Funktionen auf die Spur zu kommen lohnt es sich
vielleicht umgekehrt, irgend eine Funktion dieses Typs mal genauer zu untersuchen :
versuch das mal mit diesem Beispiel

\to f (x) = \frac{- 2 x^{2} + 6 x + 20}{x^{2} - 6 x}

shadow4862 aktiv_icon

12:10 Uhr, 25.04.2018

danke....also ich hab jetzt folgendes

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

ist eine gebrochen rationale Funktion

Nullstellen sind nur im Zählerpolynom zu finden.

Polstellen sind Unendlichkeitsstellen. Und werden eingeteilt:

\to

mit Vorzeichenwechsel = ungerader Ordnung

(= 1

. Ordnung?)

\to

ohne Vorzeichenwechsel = gerade Ordnung

(= 2

. Ordnung?)

Die Funktion die Sie mir geschickt haben, scheint die Lösung für die erste Aufgabe zu sein. Im Anhang ist mein Rechenweg. Ich komme nämlich auf die Nullstellen

x 1 = - 2

und

x 2 = 5,

sowie auf die Polstellen bei

x 3 = 0

und

x 4 = 6

.

Nur leider weiß ich nicht wie sich das mit der Asymptote verhält.

Außerdem habe ich das zwar jetzt berechnet, aber ich wüsste jetzt nicht, wie ich den Weg Rückwärts anfangen soll.

Und nebenbei erwähnt:
Es gibt Menschen, so wie mich, die studieren aber haben vorher weder Abi noch Fach Abi gemacht haben, sondern die nur aufgrund ihrer Ausbildung drin sind. Und ich hatte das Thema Funktionen zwar in den Realschule aber nicht so ausführlich und in meiner Ausbildung habe ich das nicht gehabt. Und leider gehen die Dozenten davon aus, das man Grundlagen aus dem Abitur mitbringt. Die habe ich aber leider nicht, daher muss ich mir alles selbst erarbeiten, weil ich in der Vorlesung bisher leider nicht viel verstehe. In Chemie bin ich um einiges besser. Also bitte etwas Nachsicht. Ich bin wirklich bemüht, das zu verstehen und ich bin wirklich Dankbar für Hilfe!

rundblick aktiv_icon

13:17 Uhr, 25.04.2018

.
"

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

ist eine gebrochen rationale Funktion .."

.. hm .. aber nur dann, wenn sowohl

g (x)

als auch

h (x)

ganzrationale Funktionen sind ..
also Polynome in

x . .

. (Begriff

\to

ganzrationale Funktion .. notfalls nachschlagen)

" Nullstellen sind nur im Zählerpolynom zu finden."

.. ja ..

f (x)

ist nur dann

= 0,

wenn

g (x) = 0

.. und " besitzt an der Stelle

x 1 = - 2

und

x 2 = 5

einfache Nullstellen. " bedeutet, dass du
für

g (x)

eine Linearfaktorzerlegung notieren kannst

\to g (x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)

" Polstellen sind Unendlichkeitsstellen. "

.. ja .. und die bekommst du wiederum dort,
wo der Nenner

h (x)

Nullstellen hat (und dort

g (x) \neq 0

ist )

"..Pole erster Ordnung befinden sich bei

x 3 = 0

und x4=6-."
also kannst du wieder eine Linearfaktorzerlegung notieren

\to h (x) = x \cdot (x - 6)

dann hast du also

\to f (x) = \frac{a \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)}{x \cdot (x - 6)} = .

.

"Nur leider weiß ich nicht wie sich das mit der Asymptote verhält."

dazu wirst du den Wert der Konstanten a berechnen..
und du weisst: es soll sein

y = - 2 .

. für

x \to \infty

..dh:

\to lim_{x \to \infty} (f (x)) = - 2

also

\to lim_{x \to \infty} [\frac{a \cdot (x^{2} - 3 x - 10)}{x^{2} - 6 x}] = lim_{x \to \infty} [\frac{a \cdot (1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^{2}})}{1 - \frac{6}{x}}] = a

also ist

a = - 2

ok?

und jetzt kannst du mit deinem neuen Wissen bestimmt die Aufgabe

b)

selbst lösen ?

nebenbei :

\to

lass dir

y = \frac{- 2 x^{2} + 6 x + 20}{x^{2} - 6 x}

mal von einem Programm zeichnen ..

\to

und dazu:
"weil ich in der Vorlesung bisher leider nicht viel verstehe... "
was ist das denn für eine Vorlesung? Hast du schon mal mit dem Dozenten geredet?
und wozu brauchst du denn das "leider Unverständliche" ?

.

shadow4862 aktiv_icon

17:02 Uhr, 25.04.2018

Also, ich hab mal ein bisschen rum probiert. Ich denke die Nullstellen habe ich aber bei den Polstellen bin ich mir nicht sicher.

g (x) = a \cdot (x - 2) (x + 1)

g (x) = 3 x^{2} - 3 x - 6

\to

ich habe das mal 3 Multipliziert weil die y-Achse im Wert 3 geschnitten wird. (Bezug zu Aufgabe

a)

Nach Rechnung kommen auch die geforderten Nullstellen raus.

und für

h (x) = a \cdot (x - 4) (x + 1)

\to

für die Polstelle bei

x 3

und

x 4 = 1

habe ich

+ 1

gesetzt weil es eine Polstelle 2ter Ordnung ist und somit ein Vorzeichenwechsel gefordert ist.

\to

für a auch wieder den Wert 3 genommen.

h (x) = 3 x^{2} - 9 x - 12

Wenn ich das ausrechne bekomme ich hier

- 1

und 4 raus. Der Wert

- 1

verunsichert mich jetzt ein wenig.

f (x) = \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x^{2} - 9 x - 12},

wenn das soweit richtig ist, kann ich ja noch kürzen. Dann wäre es

f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}

nebenbei:
ich studiere schon länger und bin fast fertig. Ich habe das nie im Studium benötigt und muss den Kram lernen für meine zweitletzte Prüfung, ich bin leider schon einmal durchgefallen und hatte genau so eine Aufgabe in der Klausur. Es gibt Dozenten da weiß man ganz genau, das man da hin gehen kann und die helfen einem oder halt nicht. Leider ist dieser Dozent aus der 2ten Kategorie.

rundblick aktiv_icon

17:32 Uhr, 25.04.2018

b)

eine gebrochen rationale Funktion besitzt an den Stellen

x 1 = 2

und

x 2 = - 1

einfach Nullstellen. Pole befinden sich bei

x 3

und

x 4 = 1

(2te Ordnung) und

x 5 = 4

(erster Ordnung).

vergleiche:

\to

Ansatz

\to f (x) = \frac{a \cdot (x - 2) \cdot (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} \cdot (x - 4)}

"Außerdem wird die y-Achse beim Wert 3 geschnitten. "

\to

das bedeutet

\to f (0) = 3 ...

. (überlege warum)

.. also

\to f (0) = \frac{a \cdot (0 - 2) \cdot (0 + 1)}{{(0 - 1)}^{2} \cdot (0 - 4)}

..kannst du nun selbst ausrechnen, wie gross a ist ..

\to a = . .

?

zur Kontrolle:

f (x) = \frac{6 x^{2} - 6 x - 12}{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4}

kleine Zugabe: finde etwas über die Asymptoten heraus ..

nebenbei:
"ich studiere schon länger und bin fast

f e r t i g

. "
.. hoffentlich nicht mit den Nerven ..
und was winkt dann am Schluss des längeren Studiums ?

" nie im Studium benötigt und muss den Kram lernen für .." ..das Leben danach?
.

shadow4862 aktiv_icon

15:46 Uhr, 26.04.2018

Hallo rundblick,

also auf den angegebenen Term komme ich. Ich habe für den Leitkoeffizienten

a = 6

ausgerechnet.

f (0) = 3

weil der Punkt wo die y-Achse bei

x

geschnitten wird, liegt bei

x = 0,

dh.

3 = \frac{a (0 - 2) (0 - 1)}{{(0 - 1)}^{2} (0 - 4)} \to

warum

{(0 - 1)}^{2}

habe ich auch verstanden weil 2 Pole an der Stelle sind.

a = 6

wenn ich das nun in den Term einsetze und aus multipliziere bekomme ich den Kontrollterm raus.

Ich komme nur immer noch nicht bei der ersten Aufgabe auf das Ergebnis. Ich bin die ganze Zeit schon am rum probieren und auch am lesen, aber ich komme nicht drauf. Daher bitte hier noch mal einen Denkanstoß.

nebenbei:
fertig mit den Nerven bin ich dann bestimmt. Das Fach empfinde ich gerade schlimmer als meine Bachelorarbeit, da hab ich mich nicht so schwer getan. Und ich glaube auch nicht, das ich so einen Typus an Funktion für das Leben danach noch mal benötigen werde solange es Computer gibt ;-) das ist wie Zäpfchen gießen (musste ich in der Ausbildung lernen), man muss es lernen, es ist schön das man weiß wie es geht aber benötigen tut man es in der Regel nicht.

rundblick aktiv_icon

18:19 Uhr, 26.04.2018

.
" Ich komme nur immer noch nicht..
bei der ersten Aufgabe auf das Ergebnis."

\to

aber das ist doch vollständig alles oben

(13 : 17

Uhr,

25.04.2018)

ausführlich notiert ..

\to

lies das also in Ruhe nochmal genau durch und frage notfalls gezielt, wo genau es bei
dir ein "Zäpfchen" (was ist denn das eigentlich ?) zu ziehen gibt, damit du klarkommst.

nebenbei:
was machst du denn für eine komische Ausbildung ??
bei der du "unnütz" mit ganz rational Gebrochenen

(i

git

!)

Bruch-stücken in Funktion tritts ..
"Und ich glaube auch nicht" immerhin etwas

. .!

na ja

\to

" solange es Computer gibt ;-) das ist wie Zäpfchen gießen" - angezapft ist ? oder was?

.

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