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Erwartungswert (Binominalverteilung)

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Binominalveteilung, Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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18:15 Uhr, 14.11.2019

Guten Nachmittag,
kann mir jemand bitte kurz bei folgender Aufgabe weiterhelfen.
--------------------------------
a)Z= (

Z_{1}

, . . . ,

S_{n}

) sei ein n-facher p-Münzwurf. Wie wahrscheinlich ist für (n≥5) das Ereignis {

Z_{3}

= 1,

Z_{5}

= 1}?

b) Berechne E[

X^{2}

] für eine Binom(n, p)-verteilte Zufallsvariable X, indem du die Darstellung X=

Z_{1}

+· · ·+

Z_{n}

verwendest.

c) Folgere aus b) mit der Linearität des Erwartungswertes, dass für ein Binom(n, p)-verteiltes X gilt: | E[(X−np)²] =npq und E[(

\frac{X}{n}

−p)²]=

\frac{p q}{n}

.

d) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Anzahl der Erfolge beim n-fachen fairen Münzwurf um mehr als 0.01 von 0.5 abweicht,

(i) für n= 10000,
(ii) für n= 1000000

mittels der Ungleichung von Markov nach oben ab.

Alle Aufgaben sind treffend zu begründen. Fehlende Begründungen führen zu 0 Punkten für die entsprechende Aufgabe.
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Ideen/Ansätze

zu a) Hier bin ich nicht sicher, was genau gefragt wird. Die Wahrscheinlichkeit dass

Z_{3} % u n d

Z-5§ ein Erfolg sind? Und was ist dann mit

Z_{1}

Z_{2}

und

S_{4}

. Sollen die dann zwangsläufig ein Misserfolg sein, oder ist sas wumpe? Im ersteren Fall wäre es wohl (1-p)³ p². Weiß nicht, ob das evlt. zu einfach ist...

b) Hier wird überhaupt in keinster Weise spezifiert, was E [X²] sein soll? Der Erwartungswert für X quadriert? Die Varianz?! In unserem Manuskriptum wird der Erwartungswert der Binominalverteilung wie folgt definiert:

"X sei Bin(n,p)-verteilt. E [X] =

\sum_{k = 0}^{n}

P

(X = k) =

\sum_{k = 0}^{n}

(\binom{n}{k})

p^{k}

q^{n - k}

Sei Z = (

Z_{1}

,...

Z_{n}

) ein n-facher p-Münzwurf. Dann ist (

Z_{1}

+....+

Z_{n}

) Bin(n,p)-verteilt. E [

Z_{1}

+.....+

Z_{n}

] = E [

Z_{1}

] +....+ E [

Z_{n}

]

E [

Z_{i}

] = 1 * p + 0 * q = p.

Dann wäre E [X²] ja einfach p², oder wie meinen die das?

c) Kann ich nicht lösen, da ich b) nicht kann. In unserem Manuskript ist die Linearität des Erwartungswertes wie folgt definiert

E [

c_{1}

X_{1}

c_{2}

X_{2}

] =

c_{1}

E [

X_{1}

] +

c_{2}

E [

X_{2}

c_{1}

c_{2}

\in

R

d) Hier wurde uns folgende Formel an die Hand gelegt

X reelwertige Zufallsvarialbe mit X ≥ 0, c > 0:

Ungleichung von Markov:

P

(X ≥ c) =

\frac{1}{c}

E[X]

Auf ein erklärendes Beispiel oder Erläuterung zu der Markov-Ungleichung wurde leider verzichtet. Stattdessen wurde die letzte Viertelstunde über Majorate im englischen Kaiserreich und ERASMUS-Studierende diskutiert...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

22:25 Uhr, 15.11.2019

Hallo,

>>Sollen die dann zwangsläufig ein Misserfolg sein, oder ist sas wumpe? Im ersteren Fall wäre es wohl (1-p)³ p². Weiß nicht, ob das evlt. zu einfach ist...<<

Wenn

Z_{1} = Z_{2} = Z_{4} = 0

hätte sein sollen, dann hätte man es eigentlich hinschreiben müssen. Nimmt man es trotzdem an, dann ist deine W´keit richtig.

Ich interpretiere aber es dahin gehend, dass

Z_{1}, Z_{2}, Z_{4}

jeweils 0 oder 1 sein können. Dann ist die W´keit

p^{2}

.

Bei der b) kann man erst einmal einfach für

n = 3

die quadrierte Summe aufschreiben. Ich nehme jetzt mal einfach halber die Variablen

x, y

und

z

(x + y + z)^{2} = (x + y + z) \cdot (x + y + z) = x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2}

= x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 y z

Man erkennt ein möglicherweise schon ein Muster. Und zwar

erst einmal

n \cdot E (X_{i}^{2}) = n \cdot E (X_{1}^{2})

2 x y + 2 x z + 2 y z

: Das ist zweimal die obere (untere) Dreiecksmatrix einer nxn Matrix, mit den Spalten- und Reihennamen x,y,z. Oder auch die Summe der oberen und unteren Dreiecksmatrix.

Mit dem Erwartungswertoperator muss man für jede

i \neq j

den Term

E (X_{i} \cdot X_{j})

berechnen. Wegen der Unabh. der ZV´s gilt

E (X_{i} \cdot X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j})

Da sie auch noch identisch sind ergibt sich

E (X_{1}) \cdot E (X_{1}) = μ^{2}

. Und die Anzahl ist dann eben

n \cdot (n - 1)

.

Insgesamt ergibt sich

n \cdot E (X_{1})^{2} + n \cdot (n - 1) \cdot [E (X_{1})]^{2}

Nun noch die entsprechenden Werte für

E (X_{1})^{2}

und

[E (X_{1})]^{2}

einsetzen.

Bei der

c)

ist

E [(X - n p)^{2}] = E [X^{2} - 2 n p X + n^{2} p^{2})]

2. binomische Formel. Nun den Erwarungswertoperator auf die einzelnen Summanden anwenden.

E (X^{2}) - 2 n p E (X) + n^{2} p^{2} = E (X^{2}) - 2 n p n p + n^{2} p^{2} = E (X^{2}) - n^{2} p^{2}

Gruß

pivot

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